俺用の数論幾何roadmap(読む予定のものメモ)

 授業聞きながら数学するというスキルを身に着けた(というかやってみたら意外とできた)から今までやったことないルベーグ積分とかの授業中も数学できるようになってわりと捗る

ってことで(?)ここ数日色々調べたからまとめる

(んでどうでもいいことだけど、前「Arakelov理論はどこが数論幾何なんだ」って言ってたのが「ガロア理論のどこが方程式論なんだ」っていう問いと同じだって気づいた

ガロア理論を使って方程式を調べられるってだけで、(萌芽は方程式論だろうけど)ガロア理論自体は別に方程式論ではないただの道具だって感じ?)

 

 

とりあえず「こいつら目指しとけば数論のメインストリーム学べるっしょ」的な定理

・Weil予想

・Faltingsの定理(Mordell予想)

フェルマーの最終定理

 多分Weil予想がこの中じゃ一番簡単(エタコホだけでいけそう?MilneとDeligneだけ?)

Faltingsの定理と「modularity定理⇒フェルマーの最終定理」は多分ほとんど使われてる理論同じ

Abelian varietyとJacobean varietyちゃんとやってNeron model認めるなりなんなりすればもう論文読めそう

modularity定理はまだ何もわからん

この記事に書いてあるやつ全部終わったころにまた(そのころには学部終わってるかも)

 

 

Cornell,Silverman - Arithmetic Geometry

Math overflowとかでめっちゃ多くの人が熱烈に推してた本(大学の図書館のいつも使ってる部屋じゃないところの本棚にあったから論文集かも?)

学んだ理論とか、Neron modelを始めそういうこの先学ぶべきものが最先端の研究でどう使われてるのかを学ぶのに最高って言ってた

そんで、数論は前提が多すぎて全て学ぶのは不可能だから、そうやって「理論を学ぶ」より「理論を認めて理論の使われ方を学ぶ」方法を学ぶことの方がはるかに重要って言ってた(例えばNeron modelの構成はよっぽど構成法そのものが必要にならん限りやる必要ないって言ってる。ただHartshorneとかエタコホはもちろん全部ちゃんとやれみたいなこと言ってるし、全部自分で取捨選択するのは危険かも:

https://terrytao.wordpress.com/career-advice/learn-and-relearn-your-field/ の2008 7/7のEmertonって人のコメント参照(教授らしいってこととめちゃくちゃ高評価されてるってとこから信憑性あり。少なくとも俺の考えと対立したときになにも考えずにこの人の意見うのみにした方がいいくらいには。というか俺は昔からよく頑固だとか保守的すぎるって言われるから、頭いい先生の意見はとりあえず数学的素養が身につくまで鵜吞みにするべきな気がする))

とりあえずMilneのAbelian vartietyの章がAbelian varietyの勉強としても最適かも?

あとJacobianの章もその次に読む

その後Faltingsの章でFaltingsの定理の証明も追えば超いい

あとは↑のコメント通り色々さらっと(書いてある証明は全部追うけど~~参照とかかいてある証明は追わない程度のさらっと度で)読んで理論の使われ方を学ぶ

特に、まじで1mmもしらないけどArakelov theoryってやつ興味ある

こいつちゃんとやるためにはソボレフ空間とかの解析の知識がいるみたいだけど

 

Milne - Etale Cohomology

まあ基本

Lei Fuの本と比べてめっちゃ薄いし重要なことをまとめてあるっぽいしみんな名著って言ってるし、とりあえずはじめはこれでやるのがベストかも

↑の本のAbelian varietyの章の後半に必要だから、↑やって必要になったらこれやるって感じ

 

Bott,Tu - Differential Forms in Algebraic Topology

幾何学やる人の教養って面もあるけど、エタコホがこういう普通のいいコホをモチベーションに(というより、普通のいいコホと似た性質持つように)作られたものだから、そういう直感を得るためにも

あと普通に面白そう

エタコホの本やる前にさらっとやる程度で

証明は全部ちゃんと追うつもり

微分幾何?の先輩が後半は多様体に結構詳しくないときついとかいってたし、そもそもエタコホの直感のためにやるだけだからやって2章のPoincare dualityまで

Cechコホ=De Rhamコホまでは最低でもやる

ほんとは=特異コホもやりたいけど、たぶんこれは詳しい人にしてみれば明らかなんだろうし、そこまでいったらその定理だけどっかのpdfとかでやるわ

 

Diamond, Shurman - A First Course in Modular Forms

基本すぎる

今やってる

わりとたくさん勉強してきたつもりだけどこういうの抜けてるあたりやっぱ俺はまだ初学者だなって思う

これなしじゃ数論できないと思うけど、とりあえず自分のモチベ保つためとしては、Langlands programのstatementを理解したりのためにやるつもりで。

 

Bernstein, Gelbart - An Introduction to the Langlands Program

元自称数学好き高校生の血がうずくのと、同じくmath overflowとかで結構いろんな人が勧めてた

保形形式やったら読み始めてもいいかも

 

Cornell, Silverman, Stevens - Modular forms and Fermat's last theorem

 また元自称数学好き高校生の血がうずいた

同じような編者の一番上のやつに比べて大分簡単っぽいからどっか難しい本に入る前のタイミングで眺める程度に読むといいかも

それか↑と併読 内容わりとかぶってる気がする(俺がすでにやったことも多いし)

こんなたくさん読む本の分岐があると頭ショートする

 

Deligne - La conjecture de Weil: I

http://www.numdam.org/article/PMIHES_1974__43__273_0.pdf

DeligneのRiemann予想の証明の元論文?

Milneのエタコホの本にRiemann予想以外のWeil予想の証明がのってて、Riemann予想は証明されてないからこれ読む

エタコホやった後にやるといいかも?

めっちゃ短いしほんといい

完全にMilneエタコホのappendix程度の感覚で読める

 

Mazur - Modular curves and the Eisenstein ideal

http://www.numdam.org/article/PMIHES_1977__47__33_0.pdf

Silverman1冊目に定理の主張だけ書いてあったMazurの「 \mathbb{Q}上の楕円曲線のtorsion pointは \mathbb{Z}/N\mathbb{Z} \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2N\mathbb{Z} になる(Nは左が12以下(10以外)で右が4以下)」みたいな定理の論文

それ自体面白いし、なによりHartshorne読み終えたくらいにちょうどいいらしい(難しさもだし色々な理論の応用例としても)

保形形式の本読み終わればすぐ読めると思うし、保形形式→これandエタコホ並行くらいでもいいかも

 

Ribet - On modular representations of Gal (.../Q) arising from modular forms

https://math.berkeley.edu/~ribet/Articles/invent_100.pdf

Ribetの「modularity theorem(谷山志村予想)が正しければフェルマーの最終定理は正しい」の論文?

上二つの論文に比べてなんかめっちゃ難しそう、というかとっつきづらそう?Deligneの方はMilne読めば読めるだろうしMazurの方はmodular curveの理論プラスアルファって程度っぽいのに比べて、こっちはぱっと見の感じがわかりづらい

だけど、一番上においておいたurlのブログ??のコメントの人が「理論を認めてその使い方を学ぶのが数学を”研究する”上で一番重要。特にRibetの論文はたった10ページかそこらで超重要な理論がめっちゃまとまってて最高」って言ってた

とりあえずフェルマーの最終定理はいつか証明したいしこれはやりたい

こいつを読みながら、知らないところを見つけたら一番上のCornell, Silvermanでちょっと学ぶって感じがいいかも?

 

Wiles - Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem

http://scienzamedia.uniroma2.it/~eal/Wiles-Fermat.pdf

フェルマーの最終定理が完全解決した論文

全部ガロア表現の言葉でかかれてるから正直なにもわからんけどとりあえず有理数体上のいい楕円曲線はmodularであるって論文っぽい

んでそれが↑のRibetの定理を使うのに十分な仮定っぽい

もうここまで読めたら立派に数論幾何に入門できたって言えそう

半年くらい前先生がこの論文には2か所間違いがあるって言ってたからそこ注意しとくこと(もちろんフェルマーの最終定理はこの論文で解決したってみんな認めてるわけだから致命的な間違いではないはず。先生も普通に回避できるって言ってたし)

 

Liuの8章以降

必要になったらいずれ

めっちゃ基本っぽいことたくさんかいてあるけど、Silvermanやってからだとここまで一般にreduction考える必要ないんじゃないかとか思う

同じ理由で7章のHurwitz formulaもやってない(もちろん代数閉の場合はHartshorneでやった)

あと超絶一般的なdualizing sheafもやってない。Hartshorneの証明をいじって一般の体上でdualizing sheaf = canonical sheafを示したからこれで充分っしょとしか思ってない

ってことでほんと必要になったら

 

Silverman2冊目

気が向いたら

Neron modelの具体例的な感じでいい本だと思うからいずれNeron modelちゃんとやるときが来たら↑とともにやる

俺史上初本棚の肥やしになりそうでちょっと怖い(1章を図書館で借りてきてやって、面白かったから2章入る直前に買ったら2章から辛くてわりと新品同然のまま積んである)

 

Hartshorne5章の続き、あとはほかの本で曲面論

単純に面白そうだから気が向いたらやる

blowing-upの定義が大変すぎて2節以降読めてないからすぐにやることはないと思う

 

Fultonとかでintersection theory

幾何学的にも面白そうだけど、なんかまじで全く知らんけど数論でも標準みたいだから視野に入れておく(代数的サイクルとエタールコホモロジーとかいう日本語の本が数論幾何の素晴らしい本だって言われてるくらいだしたぶん超基本なんだと思う)

ただ、Liuをさら~っと眺めた結果、代数閉体上の幾何学的なintersection theoryと相対曲線上の(もっと一般的な対象の上でも理論があるかもしれんけど)数論的なintersection theoryには大分差があるみたいだから別物と思っとくべき

それにしてもそんなことまでかいてあるとはほんとLiuは素晴らしい本なのかもしれない

Hartshorneがほんとやればやるほど素晴らしいバイブルだっての理解できて、それに伴ってLiuがそんなじゃね?ってなってたけどやっぱこいつも名著なんだろうな

 

 

数学書のprefaceによくあるあの矢印みたいなやつ:

             Diamond, Shurman

      ↓                           ↓

      ↓        Bernstein, GelbartとCornell, Silverman, Stevens

Mazur

 

Bott, Tu

     ↓      Cornell, Silverman (のAbelian varietyとJacobian)

Milne          ↓                    ↓          ←この二つは互いに補い合う

   ↓              ↓                    ↓

   ↓  ↓  ←  ←                 同Faltingsの章

Deligne                            ↓

         同その他(理論より使われ方重視で)とRibet併読

                                        ↓

                                    Wiles

(RibetからはDiamond, Shurmanもいる)

 

あとはその他諸々

 

こう見るとDiamondから始まる方なんかわりと知識が辺境の地にたどり着きそう(んでそのわりに本の前提知識がほとんどなさそうだから少し怖い)だし下手したら途中でDiamondやめてBott, Tu行くかも

ただLanglands programは超絶大重要数論峠最高峰の予想だからいずれ絶対読む

下の枝の方ちゃんとやり終えたころにはこういう入門者向け読み物みたいなやつに頼らんでもLanglands programに入門できるんじゃないかなって感じ

それか下の方の断崖絶壁に疲れたら休憩としてDiamondの枝の方読むとかでいいかも(ただ俺は2冊以上同時に進められない)

 

あと最近一つ上の先輩とも割と対等に話せてる気がしてうれしい

今まで完全下位互換だったけどLiuちゃんとやって一般の体上の代数幾何だとまあまあこっちが教えることも増えた

しかも今までと違って割と認めてもらえてる気がする(前は「~~やりたいんですよね」系の話も「ここ~~じゃないですか?」系の議論も何言ってるんだこいつみたいな顔されてる気ばっかりしてた)

 

 

 

なんていうか、論文(?)を読むことになってかなり感慨がわいてる

論文ってまず名前がかっこいいしすごくすごいと思う

2年次(去年度)にやったことのまとめ

思い出せないところもあるだろうけどとりあえずやった本は全部並べてみる

いい書き方思いつかんからなんか思いついたら書き換える

 

 

・Liu - Algebraic Geometry and Arithmetic Curves 2章(~4/3)

当時Hartshorne1章にマジでボロボロにやられて代数幾何にそれなりに深い苦手意識を持っていたんだけど、そのわりには割としっかりできていい気分になった

んでそのまま3章に行ってみたら速攻でやられてNeukirchに逃げた

 

・Neukirch - Algebraic Number Theory 4章(4/4~4/20)

ちょうど1,2章までが1年で終わってた

Liuから逃げてきたのに死ぬほど抽象的だったからこっちでも普通に挫折して完全にやる気がなくなった

その後半月くらい勉強できなかった

 

・小木曽 - 代数曲線論(4/29~5/14)

暇つぶしアンド代数幾何への苦手意識克服のために始めた

全く身にならんかった

 

・Liu - Algebraic Geometry and Arithmetic Curves 3,4章(5/15~6/24)

ただ放置しただけなのにめっちゃ理解できるようになってた

んでそのまま4章入ってflat morphismで無事死亡

十日くらい1ページも進まなかった

 

・Neukirch - Algebraic Number Theory 4,5章(6/24~7/10)

4章をかろうじて殺して5章入ったけど局所体のことわりと忘れてたから一旦放置した

 

・Silverman - The Arithmetic of Elliptic Curves 1章~3章(7/12~7/26)

数論にわくわくしてたら初めの方予想以上にただの代数幾何で死んでた

 

・Liu - Algebraic Geometry and Arithmetic Curves 5,6章(7/30~8/8)

何もできずにすぐやめた(確か4章は結局飛ばした)

5章もコホモロジーはHartshorneでやるつもりだったからほぼやってないし、6章なんかは全く理解できずにやめた気がする

 

・Leinster - Basic Category Theory(8/8~8/15)

やる気そがれたから暇つぶしにやった

1年のころ先輩とやったゼミでは全く理解出来てなかったけどこの時はめっちゃ例も出せたし米田の補題とか自分で示せたしよかった

 

・Diamond, Shurman - A First Course in Modular Forms(8/22~8/26)

やる気そがれてたから暇つぶしにやった

なにも身にならなかった

 

・Silverman - The Arithmetic of Elliptic Curves 3章~8章(8/27~9/26)

なんとなくこっち戻ってきてみたら急にやる気がわいて一気にほぼ最後までやった

かなり楽しかった

 

・Neukirch - Algebraic Number Theory 5,6章(9/27~10/23)

そのままの勢いで戻ってきたらなんとか6章たどりついた

そこからはかなり難しかったけど楽しかったし最後までできた

具体的な計算も結構したしかなり頑張ったつもり

とりあえず類体論はいずれまた使うからそのときに備えてたまに思い出す程度に眺めるつもり

 

・Hartshorne - Algebraic Geometry 2章5,6節(10/24~11/9)

とにかく代数幾何を消費しなければという強い強迫観念に駆られていた

確かLiuに戻ろうとして、Hartshorne見てみたらこっちの方がいい気がして結局こっちやることにした気がする

これはマジでいい判断だった

このあたりから俺の中のHartshorneクソ説がどんどん消えていった

なんだかんだいって楽しくできた覚えがある

 

・Hartshorne - Algebraic Geometry 3章1節~6節(11/10~11/26)

当初の予定通りHartshorneでコホモロジーを始めた

(Hilton, Stammbach - A Course in Homological Algebraと併読した)

この辺はなにより文献探すのが大変だった

でもやり始めたら死ぬほど楽しかったし勉強時間安定して激長だった

とりあえず当時の自分が持っていた謎の代数閉体に対する拒否感から7節は全く読まなかった

 

・Liu - Algebraic Geometry and Arithmetic Curves 7章(11/27~12/8)

確かHartshorneで一般の体上のSerre dualityがなかったからこっちでやろうとしたらなんとこっちは証明がまるまるなくてかなり怒った覚え

んでネットの海を漂い続けて、結局perfect field上のduality示してるpdfを見つけたけど死ぬほどめんどくさくて結局canonical sheaf = dualizing sheafは認めてLiuの7章に行った

(今思えばこれはまじで正解だった 結局Hartshorneの証明そのまま一般の体上に適用できたし、あんなくっそ長いうえにくっそアドホックな議論重ねるやつやっても意味なかった 時間を無駄にするところだった)

んで楽しくやれた

Riemann-Rochも示したけどdualityを示してないからほぼ示せてないに等しかった

んで曲線の分類の節に入って一瞬でつまってやめた

(ここら辺までで代数幾何に対する恐怖は大分なくなってたけど、とにかく抽象バカだった ここでつまったのはそれが原因 具体的な例をなにも知らなかった)

 

・Webb - A Course in Finite Group Representation Theory 1章~3章(12/10,11)

もう完全にやる気がなかったのが見て取れる

まあ1mmくらいは身になった

 

・Lei - Etale Cohomology 1章(12/12~12/16)

Liuわからなすぎて血迷ったって感じ

「曲線の分類なんて最悪できなくてもいい!」みたいな感じで始めた

圧倒的に代数幾何の理解が足りてなかったからもちろん惨敗

というかこの本は多分辞書 初心者には向いてない

 

・Liu - Algebraic Geometry and Arithmetic Curves 4章~7章(12/19~1/22)

やっとあきらめて往生際よくLiuの復習を始めた

まあ証明はちゃんとおえたしなかなか身になった

(4章4節(Zariski Main Theorem)と5章2節以降(コホの理論。Hartshorneでやった)と6章2節以降(abstract-nonsenseにしか見えない)はやってない)

あと練習問題も結構やった

このあたりから具体的な理解が深まりだした気がする

 

・Hartshorne - Algebraic Geometry 4章2,3節(1/23~1/30)

とりあえず代数閉体上でできないとなにもできんだろ、とやっと認めて始めた

でも難しくてわりとすぐ死んだ

結局理解が足りてない

 

・Liu - Algebraic Geometry and Arithmetic Curves 8章(1/31~2/1)

まあいいやと思ってLiuの先に進んでみた

くっそ抽象的でモチベもわからんからあえなく惨敗

 

・Silverman - The Arithmetic of Elliptic Curves 1,2,3,5,6章(2/9~3/6)

もう数学なにやればいいかわからんくなったから、とりあえず楕円曲線深くやってみようかな、とSilvermanの2冊目をやるために復習を始めた

ここがターニングポイントになったと言っても過言でないほど代数幾何の理解が深まった気がする

1,2章を全部スキームの言葉に翻訳しながらやって、ようやくGrothendieckの天才さとスキームの意味がわかった

 

・Silverman - Advanced Topics in the Arithmetic of Elliptic Curves 1,2章(3/7~3/19)

1章はくっそ面白かった

んで2章いったらなんか死ぬほど難しくて一旦やめた

 

・Silverman - The Arithmetic of Elliptic Curves 4,7,8,10章(3/19~3/26)

まあとりあえず単純に超楽しかった

特に10章

 

・Silverman - Advanced Topics in the Arithmetic of Elliptic Curves 3章(3/27~3/30)

予想以上にただの幾何で疲れた

でも全然つまらなくはなかった

 

・Hartshorne - Algebraic Geometry 2章8節(3/31)

こっからHartshorneの仮定取り外しまくり大会を開催した

めっちゃ順調

 

a

先月の終わりから今月のはじめまでの2週間で平均して毎日9時間勉強できてた

でも大学のおかげで終わった

やっぱり大学は素晴らしいと思います

でも普通に区切りついたくらいでちょうど大学始まったからたぶん大学なかったとしても勉強時間は減ってた

地霊殿ルナは4ミスでクリアできた

スコアは14.8億で初クリア時と3億くらいしか変わらん

やっぱグレイズが重要なのか

 

 

とりあえずSilvermanの2冊目は1章が終わって、2章始めたところわりとむずいのとなんかやる気なくなったので一旦やめ

んで3章はじめた

function field上のMordell-WeilにAbelian varietyの知識必要だったから怒って飛ばした

んでfibired surfaceに入ってしばらくしてBertiniの定理はじめHartshorne必要になったから3月終わり辺りからHartshorneの復習と前回やってなかったところをはじめた

 

 

とりあえずBertiniの定理やるために2章8節をやった

初見時はほとんど代数閉の場合しかやってないことに不満覚えて飛ばしてたけど、よくみると代数閉の仮定ほとんどはずせることに気付いて進めた

そんで3章の前回ほぼやってなかったような6節からまた読み始めた

んで問題の7節もほぼ全て代数閉の仮定はずすことができて、これで晴れてcanonical sheaf = dualizing sheafが示せた

そのまま続けて9節のflat morphismのところをLiu参照しながら色々仮定取り外せた

でも後半の例がさっぱりわかんなくて飛ばした

 

そんで1章7節をschemeの言葉でやった

まあほぼEuler characterそのものだけど、Hilbert polynomialがめっちゃ便利でいい

ここも代数閉の仮定取り外しまくれてよかった(ただ特にBezoutの定理は代数閉じゃないとあまり意味がなくなる)

 

そんで5章に入った

intersection numberがめっちゃ便利だしめっちゃ面白い

この先何勉強すればいいかわからなくなってきてるけどとりあえず数論とか関係なくintersection theoryもいいかもしれない

というか、曲線だとdivisorがただの点だからそういうところの面白みがなかったけど、曲面に入って一気に幾何学の本当の面白さっぽいものでてきてめっちゃいい

Bertiniの定理が代数閉の仮定取り外せなかったからこの章は全て代数閉の仮定必要になってるけど、そういう数論とか抜きにして普通に代数幾何そのものがおもしろい

そんで1節最後のNakai-Moishezon criterionの証明に使われる演習問題をやったら、その演習問題にさらに演習問題が4つくらい使われてて、さらにその演習問題に…って三日くらいたらい回しにされながらなんとか全部やった

んで証明追ったら死ぬほどきれいで感動した

cohomologyの威力が余すところなく発揮されていたし、めちゃくちゃすごくてめっちゃ感動した

正直定理そのものは「あると超便利なample divisorがすぐわかってなんかいいね」くらいにしかまだ理解できてないけど、とにかくその証明に感動した

代数的整数論のHilbert theory以来の感動

 

そんで2節に入ってすぐblowing-upが必要になったから2章7節に戻った

でもまじでめんどくさくて一旦やめて初見で飛ばしたLiu4章3節のZariski main theoremを追うことにした

そのために完備化を復習した当たりでなんかやる気がつきて勉強時間も減った

 

 

 

この一か月くらいはHartshorneの前回飛ばしたようなところほぼ全てやれたし、半年くらいのもやもやだったcanonical sheaf = dualizing sheafも示せたし、そのほかにもかなり多くの定理からいろんな仮定を外せたしでまじでよかった

1章までやったし、これであとHartshorneのやってないところは2章最終節のformal schemeと、3章ラスト10,11,12節、あとはLiuでやったからあんまりやるつもりない4章と今読み途中の5章2節以降のみだ

3章10節smooth morphismはとりあえずLiuでやったのと今のところ必要じゃない

んで2章9節、3章11,12節も、おそらくメインはZariski main theoremとStein factorization theoremで、こいつらはLiuの4章3節に乗ってるからそっちでいい

4章はいずれ少しだけやるかも

つまりHartshorneは今やってる5章が終われば完全読破

めちゃくちゃうれしい

本当に長かった

んで、2章8節はBertiniの定理(とそのCorollary)、3章7節もBertiniの定理のCorollary以外全て代数閉の仮定取り外せた

とくにcanonical sheaf = dualizing sheafを一般の体で示せたのがうれしい

2章8節の「closed subvarietyに関してsmooth⇔differential sheafの完全系列が右側まで完全」みたいな定理のonly ifの部分がcrutialだったわけだけど、こっち向きだけは一般の体上で示せた

この定理はLiuにものってなかったのと、Hartshorneが本質的に代数閉の仮定を使って証明してたから困ったんだけど、めっちゃがんばったら一般の体でもいけた

先輩たちに聞いてもあってるって言われたからまじでうれしかった

あと3章9節もLiu見ながらかなり多くの仮定を外せた

とくにflat base change theoremはめちゃくちゃ外せた(まあ実際使う機会なんてどうせvarietyの場合ばっかだろうからあんまり意味ないかもだけど)

勉強時間的にもわりと満足

 

Bertiniの定理が一般の体上で示せなかったから5章が全て代数閉でしか言えないんだけど、どうやら多分一般の体だとBertiniの定理は成り立たない予感

実際、intersection theoryはなんか全く知らんけど数論で重要みたいで、つまりintersection numberがあるよ、みたいな定理は一般(一般の体上のvarietyとかそういうレベルじゃなくて、regular noetherian connected scheme of dimension 2とかいう死ぬほど一般の場合)で成り立つらしくて、その証明にどうやらBertiniの定理が使えないからMoving lemmaとかいうのを使うらしい

 

 

とりあえず今後なにやるか

とりあえずは今やってるZariski main theorem示して、Hartshorne2章7節かLiu8章1節でblowing-upをやって、そんでHartshorne5章2節に戻る

Hartshorne2章7節は死ぬほど一般的な状況でblowing-upやってて疲れそうだからLiuでもいいかも

んでそれが終わったら、Hartshorne5章がなかなかおもしろいから、先輩のすすめられたBeauvilleとかいう人の複素数体上の代数曲面の本やるのもいいかも

でもどうせ複素数体上でやるなら超越的な手法使っていろんなこと調べたいって欲求もある(つまりどっかで複素幾何ちゃんとやってからとか)

 

それかほかにFultonかこれまた先輩に教えてもらった本でintersection theoryもありかも

数論にも重要らしいし

どうせならあの有名な日本語の代数的サイクルとエタールコホモロジーみたいな本もいいかもしれない

エタコホは純粋にそれだけやると重すぎて死ぬのが目に見えてるしまじでぴったりかも

ただいきなり一般にintersection theoryをやると死ぬ可能性もあるから、どちらにせよFultonとかかも

 

それか半年くらいずっと言い続けてるけどAbelian varietyとか

Mumfordに不満しか言ってなかったけど、Hartshorneみたいに自分でばんばん代数閉の仮定取り除けるかもしれんし、それなら歴史的名著って言われてるこいつでやった方がいいかな、と

ただ確かシーソーだかキューブだか、そういう超基本的な命題の証明に確かBertiniの定理使ってたから、一部essentiallyに代数閉がいるのかもしれない

 

肝心のSilvermanの方は3章からまじで完全にただの幾何学になってるから、どうなるかわからん

ただ、HartshorneとかLiuにのってることを超具体的にやってるわけだから、そっち一通り終わったら練習としてやるかも

多分かなり理解に効果ある

 

 

まじで最近なんで数学やってるのかわからなくなってきた

何がやりたいかもよくわからんし

漠然と数論がやりたい、とは思うんだけどなに読めばいいかほんとにわからん

そうこうしてる内にもう3年生になってしまった

もう来年には卒研とか院試の勉強とかあるだろうからちょっと困る

院と言えば、どっか別の大学の院にいくのもいいなあと思ってたけど、ほんと気付いたら3年生になってたし、たぶんこれはこのままどこにもいかないんだろうなあ、と

ブログめんどくさくてやってなかった

東方は長いこと妖々夢のファンタズムでスコアラーの真似事やってた

11億達成できたけどなんかリプレイ保存し忘れてめちゃくちゃ悔しい

あとは地霊殿のルナで相打ちしてめっちゃ悔しかった

ただ神霊廟の体験版をダウンロードした

簡単って評判らしいけどなんかめっちゃ難しく感じた

妖夢が死ぬほどかわいいからどれほど使いづらくても妖夢使おうと思いました。

 

 

1月は毎日5時間できてまあまあだった

Liuの7章4節しょっぱなからよくわからなかったから4章のnormalityあたりから復習してた

んで前回ほぼやってなかった4章のunramified morphismあたりもきちんとできた

5章のcohomologyはHartshorne3章前半にのってなかったような定理もいくつかあったけどとりあえずの問題はないから飛ばした

(前回のブログに書き忘れてたけどHartshorneは3章の6節くらいまでやった。ext sheafとかhigher direct imageとかもやったにはやったけど一回も使う場面がなかったからほとんど忘れてる)

んで6章も2節のregular immersionあたり以降は曲線では使わないからとりあえずまた飛ばした

んで7章にまたたどり着いてずっとわかんなかったところも解決した

8章以降数論幾何だけど、ちょっとやってみたら難しいうえにあんまりモチベもわかなかったからとりあえずLiuは終了

 

 

んで2月前半は一区切りついた反動でやる気わかなくてあんまり勉強できなかった

 

 

2月後半からSilvermanの楕円曲線の本復習しだした

前回schemeの言葉でどういうことなのかわかんなかったところもすっきり完全に理解できたしいい感じ

んで逆に代数幾何一般の方も、面白い具体例通じてかなり明快に直感的に理解できた(特にLiu復習してもよくわからなかったdifferential sheafがめっちゃ分かった気がする)

ってことで1,2章をschemeの言葉に翻訳しながらやって、3章は普通にやって、とりあえず7章以降にしか使わない4章は飛ばして、5章普通にやった

んで前回かなり適当にやった6章複素数体上の章をきちんとやった

借りてきた複素幾何の本もやってたぶんわりと完璧に理解できた気がする

あと、smooth projective C-schemeのrational pointから標準的に定まる複素多様体も自分でなんとかできたしすごくいい

morphismの方もできたし、これでいいC-shcemeの圏を複素多様体の圏に埋め込めた

逆のfunctorは複素幾何の本の真ん中くらいのChowの定理とかいうやつから出そうな感じ

そこまでは近いうちにやるかも

 

 

3月入ってSilvermanの2冊目、Advanced Topics in Arithmetic of Elliptic Curvesを買った

1,2章が保形形式と複素数体上の楕円曲線のCMと類体論の話だから、1冊目6章まで復習し終えてやりはじめた

今のところ1章の7節

半年くらい前のやる気ない時期に保形形式の本少しやったけど、当時まじで天下りとしか思えてなかったところもこの本でめっちゃすっきりわかった

とりあえずC-elliptic curvesの圏、latticeの圏、複素トーラスの圏の圏同値も示せたし、SL2のmodular curveのこともなんとなくわかったしいい感じ

楕円曲線には基本SL2の保形形式しかでてこないのか、一般論はなかったけどまあ今はこれでオーケー

高校生が大好きなmodularな楕円曲線のことも知りたいからいずれはやる

まあってことでそのまま適宜1冊目で復習しながら2冊目を進めていくつもり

 

 

・今後のこと

とりあえず自分が何やりたいかいまいちわからないからこのまま楕円曲線わりと深めにやるつもり

2章が類体論の話だからここでNeukirchの復習のきっかけにもなる

んで3章がfibred surfaceで4章がNeron modelだから、ここやればLiuの8章以降にある内容ほぼ全ての応用がわかって超いい感じ

3,4章さらっとやったらLiu8章以降やって、もう一回Silverman2冊目の3,4章を今度はschemeの言葉でやるつもり

そっからはよくわからんけどとりあえず1冊目はHeight関数適当にしかやれなかったからここも復習したい

これらに加えて1冊目6章で複素幾何も触れたし、今までやってきた代数幾何の応用例としても面白くて、それを通じて代数幾何を直感的に理解できた気もするし、楕円曲線やってけばほんと色々な数学学ぶきっかけになって超いい

 

Silverman2冊目終わってからか並行してか、他のことにも手を出したい

今のところetale cohomologyかAbelian varietyかとは思ってるけど、エタコホはくっそ長くてくっそ難しくて、しかもそのうえ道具にすぎないからモチベわかなすぎて挫折したから、とりあえず必要になるまでやらないかも

 

んでAbelian varietyも正直あんまりモチベがわかない

Abelian varietyって一般的だからじゃなくて構造がかなりきれいだからたくさん研究されてるんじゃないかって思ってきた(ネーター環じゃなくてアルティン環みたいな)

楕円曲線は具体的な式があるから有理点一般にわかると超うれしいけどAbelian varietyは具体的な式ないし

ただ、(少なくとも曲線には)Jacobian varietyとかいう、有理点がその曲線のPicard群と同型になるとかいう標準的なAbelian varietyが定まるみたいだし、こいつ経由してFaltingsの定理みたいな一般のsmooth projective curveの有理点に関する定理が示せたりするんだろうか

とりあえずやるとしたら数論的っぽいSerreのLectures on the Mordell-Weil Theoremやろうかと思ってる

幾何的な面はネットにあるvan der Geerって人のやつかMilneのやつでやろうと思ってる

 

 

今後やりたいこと等

今まではある程度きりがつくごとに進捗まとめとしてブログをかいていたけど、今後は一か月ごと(月末に?)にその月の色々をまとめることにしようかと思ってる

 

11月かなり勉強捗った

今週入ったあたりからLiuが難しくてまた減った

あと急に東方うまくなった

妖々夢永夜抄風神録のルナクリアできた

次は紅魔郷地霊殿のルナやる

星蓮船はむずすぎてハードすらやってない 今ならできるかも

そろそろ神霊廟買わなきゃ

でもいまだに収入が0だから買えない

あとちょいで大学受験終わるし家庭教師も見つかるだろう

バイト始めたら小麦ちゃんのDVDを買いたい

 

 

HartshorneとLiuを併読しながらとりあえずRiemann-Rochまで示した

といっても、dualizing sheaf = canonical sheafを認めてしまったからほぼ示せてないに等しいかもしれない

というのも、Hartshorneは代数閉体上の場合に限って示していて、Liuは証明を書いてなかったから

ネットでperfect field上のsmooth projective schemeの場合を示してるpdfあったからいずれそれを読むつもりでいる

んでLiu7章のsmall genus curveの分類やってるけどかなり難しくてつまった

最悪この章は読まなくても今後やっていくうえで問題はないかもしれないけど、この次以降はまさに数論で重要っぽいしやらなきゃいけなそう

でもとりあえず代数幾何の基礎は一旦終了

 

次はAbelian varietyかetale cohomologyをやろうとしてるけど、一般論、ある程度勉強が進んでくると、そこまで学んだ人の数が減ってくるからか本のレビューも減って、「名著」と言われる本がなくなってきて何を読めばいいかわからなくなる

エタールコホモロジーはMilneがわりといいみたい?だけど、アマゾンのレビューに結局SGA4と1/2が一番いいみたいなことかいてあるしわからん

んでLei Fuとかいう人の本がまさにSGAの翻訳っぽいけどやっぱ評判少なすぎてわからない

アーベル多様体の方もMumfordが名著らしいけどどうなんだろうか

大学にいる数論幾何の先生にアポとって話聞いて考えようと思ってるけどわりとハードル高い

「君ほんとにそれ学べるくらい基礎できてるの?」とか言われたらもう死ぬしかないし

 

ってことでいい本見つかるまでWebbのA Course in Finite Group Representationで表現論をやりはじめた

代数的整数論でほぼ必須級らしいけど、表現論を使う代数的整数論の本ひとつも知らないし来る時のためによくわからずやってるって感じだからモチベーションがあまりわかない

それ自体もわりとおもしろくはあるけど今まで群論わりとテキトーだったから辛い

 

 

代数的整数論代数幾何の入門がほぼ終わったところでとりあえず今後なにをやりたいかを調べたからまとめる

・遠アーベル幾何

まだ発展途上?

スキームが「遠アーベル」なら、そのスキームの情報は全てエタール基本群に含まれている、とかいう理論らしい

・アラケロフ幾何

正直さっぱりわからんけど、普通のスキームだとnonarchemedeanな点しか考えられていないから、なんかarchemedeanな点を追加していい感じに幾何をするとかいう分野らしい

 

こいつら数論幾何らしいけど、扱う体が数論的なだけでどこが数論なのか不明

でも面白そうだし、こいつ目指しとけば数論幾何に必須っぽい色んなもの習得できそうだからとりあえず目標

 

んでそのために必要な分野たち?

・サイクルだか交叉理論だか

まじでさっぱりわからんけどとにかく基礎っぽい

・エタコホ

普通のcohomologyだとSerreのAffine criterionからもわかるように満足な幾何ができないから、開集合の圏の代わりにetale morphismの圏(もっと一般にsiteとかいう圏でもいいらしいけど)上のsheafを考えてそこでcohomologyをするらしい

とにかく基礎っぽい

・アーベル多様体

それ自身も十分面白そう

なんかpdfさらーっと眺めてみると楕円曲線ほどdiophantine幾何っぽくなさそう

ほぼ幾何に終始してそう

楕円曲線

Silvermanやったけどその2冊目もやるつもり

アーベル多様体やるためにもう一回きちんと理解するつもり

Hilbert class fieldとかray class fieldとかのためにも

複素多様体微分多様体、リー群

教養程度に んでアーベル多様体とかの理解の助けにもなるかと

・表現論

必要とかそうじゃないとか以前に数学の常識だろってことで

・代トポ

去年の夏くらいに日本語の薄い本でやったけどもう少しちゃんとやっておきたい

 

あとはNeukirchの7章でゼータ関数とかL関数とか読んでおきたい

なんかアラケロフ幾何とかいうやつは3章もかなり重要になりそう

 

こんなところか

めちゃくちゃ多そうに思えるけど下の方は教養程度でって思ってるし実際そうでもないかも

学部生の内にわりとなんとかなりそう

その代わりそれ以外はできなそう

金がない バイト探すのめんどい

永夜抄ルナティッククリアできた大変だった

 

Silvermanのover global fieldの章(何章か忘れた)終わった

integral pointの章めんどくさくなって読むのやめた

heigt functionとかいうのが死ぬほどめんどくさいしモチベもよくわからん

 

Neukirch6章終わった

おもしろかった

n次の剰余法則示したけどもっとexplicitにかきたいから円分体上のHilbert symbolを計算してるけどめんどい

Hilbert class field云々の話もおもしろかった

表現論必要そうだけどどんな本でそのつながりとか学べるかさっぱりわからんGalois表現とかいう言葉よくきくけど本がよくわからん

まあとりあえずこっち方面で勉強続けていこうと思う

 

次はLiuの続き読もうと思ったけど代数幾何もう疲れたから表現論でもやるかも

それかSilvermanの2冊目みたいなAdvanced topics in~~みたいなやつやるかも

 

 

いちいちブログにかくのがめんどくさくなってきた

 

 

お金が完全に尽きた

親から借りながら遊び暮らしている状態

でも遊び友達全員県外に行っちゃったから使う機会もほとんどなくなってなんとかなっている

休みが長いと勉強やる気なくなっちゃうからとりあえず夏休み終わることを望む

あと永夜抄残機5残してHardクリアできたからうれしい(輝夜で3削られた)

家庭教師はおそらく採用のはこびになったけど、よく考えた結果ちょっと遠すぎるから「不採用にしてください」と電話しといた

休み明けにまた生協通い再開せねば。

 

 

Silvermanの3,4,5,6章終わって7章に入った

3章はつらいと思って投げだしてたけどちょうど再開したところから楽しくなった

Tate moduleが云々でなにやらGalois表現が顔を出し始めた匂い

4章はくそつまらなかった

多分7章に大いに必要だと思ったから、証明は全部追ったものの深い理解は後回しにした

5章は超楽しかった

局所体上の楕円曲線をreductionすれば即でてくる、すなわち有理数体上の楕円曲線とばりばり絡みあるというモチベ高い対象なうえ、それ自身の理論も最高に面白かった

割とどうでもいいけど、(楕円曲線上の)リーマン予想を証明できたってのもなんとなく楽しい

演習問題もばっちりやった

6章はつまらなかった

解析が多かった

でも短かったしとりあえずさらっと追った

 

ってことで7章の局所体上の楕円曲線入った

楽しいはずなんだけど一気にやったからかモチベーション下がってしまった

2日勉強してない

 

Neukirchの類体論の章とかLiuやHartshorneに比べると行間がほぼないに等しいからすらすら進む

重要なところは演習問題もちゃんとやってしっかり理解しようと思いました。