a

先月の終わりから今月のはじめまでの2週間で平均して毎日9時間勉強できてた

でも大学のおかげで終わった

やっぱり大学は素晴らしいと思います

でも普通に区切りついたくらいでちょうど大学始まったからたぶん大学なかったとしても勉強時間は減ってた

地霊殿ルナは4ミスでクリアできた

スコアは14.8億で初クリア時と3億くらいしか変わらん

やっぱグレイズが重要なのか

 

 

とりあえずSilvermanの2冊目は1章が終わって、2章始めたところわりとむずいのとなんかやる気なくなったので一旦やめ

んで3章はじめた

function field上のMordell-WeilにAbelian varietyの知識必要だったから怒って飛ばした

んでfibired surfaceに入ってしばらくしてBertiniの定理はじめHartshorne必要になったから3月終わり辺りからHartshorneの復習と前回やってなかったところをはじめた

 

 

とりあえずBertiniの定理やるために2章8節をやった

初見時はほとんど代数閉の場合しかやってないことに不満覚えて飛ばしてたけど、よくみると代数閉の仮定ほとんどはずせることに気付いて進めた

そんで3章の前回ほぼやってなかったような6節からまた読み始めた

んで問題の7節もほぼ全て代数閉の仮定はずすことができて、これで晴れてcanonical sheaf = dualizing sheafが示せた

そのまま続けて9節のflat morphismのところをLiu参照しながら色々仮定取り外せた

でも後半の例がさっぱりわかんなくて飛ばした

 

そんで1章7節をschemeの言葉でやった

まあほぼEuler characterそのものだけど、Hilbert polynomialがめっちゃ便利でいい

ここも代数閉の仮定取り外しまくれてよかった(ただ特にBezoutの定理は代数閉じゃないとあまり意味がなくなる)

 

そんで5章に入った

intersection numberがめっちゃ便利だしめっちゃ面白い

この先何勉強すればいいかわからなくなってきてるけどとりあえず数論とか関係なくintersection theoryもいいかもしれない

というか、曲線だとdivisorがただの点だからそういうところの面白みがなかったけど、曲面に入って一気に幾何学の本当の面白さっぽいものでてきてめっちゃいい

Bertiniの定理が代数閉の仮定取り外せなかったからこの章は全て代数閉の仮定必要になってるけど、そういう数論とか抜きにして普通に代数幾何そのものがおもしろい

そんで1節最後のNakai-Moishezon criterionの証明に使われる演習問題をやったら、その演習問題にさらに演習問題が4つくらい使われてて、さらにその演習問題に…って三日くらいたらい回しにされながらなんとか全部やった

んで証明追ったら死ぬほどきれいで感動した

cohomologyの威力が余すところなく発揮されていたし、めちゃくちゃすごくてめっちゃ感動した

正直定理そのものは「あると超便利なample divisorがすぐわかってなんかいいね」くらいにしかまだ理解できてないけど、とにかくその証明に感動した

代数的整数論のHilbert theory以来の感動

 

そんで2節に入ってすぐblowing-upが必要になったから2章7節に戻った

でもまじでめんどくさくて一旦やめて初見で飛ばしたLiu4章3節のZariski main theoremを追うことにした

そのために完備化を復習した当たりでなんかやる気がつきて勉強時間も減った

 

 

 

この一か月くらいはHartshorneの前回飛ばしたようなところほぼ全てやれたし、半年くらいのもやもやだったcanonical sheaf = dualizing sheafも示せたし、そのほかにもかなり多くの定理からいろんな仮定を外せたしでまじでよかった

1章までやったし、これであとHartshorneのやってないところは2章最終節のformal schemeと、3章ラスト10,11,12節、あとはLiuでやったからあんまりやるつもりない4章と今読み途中の5章2節以降のみだ

3章10節smooth morphismはとりあえずLiuでやったのと今のところ必要じゃない

んで2章9節、3章11,12節も、おそらくメインはZariski main theoremとStein factorization theoremで、こいつらはLiuの4章3節に乗ってるからそっちでいい

4章はいずれ少しだけやるかも

つまりHartshorneは今やってる5章が終われば完全読破

めちゃくちゃうれしい

本当に長かった

んで、2章8節はBertiniの定理(とそのCorollary)、3章7節もBertiniの定理のCorollary以外全て代数閉の仮定取り外せた

とくにcanonical sheaf = dualizing sheafを一般の体で示せたのがうれしい

2章8節の「closed subvarietyに関してsmooth⇔differential sheafの完全系列が右側まで完全」みたいな定理のonly ifの部分がcrutialだったわけだけど、こっち向きだけは一般の体上で示せた

この定理はLiuにものってなかったのと、Hartshorneが本質的に代数閉の仮定を使って証明してたから困ったんだけど、めっちゃがんばったら一般の体でもいけた

先輩たちに聞いてもあってるって言われたからまじでうれしかった

あと3章9節もLiu見ながらかなり多くの仮定を外せた

とくにflat base change theoremはめちゃくちゃ外せた(まあ実際使う機会なんてどうせvarietyの場合ばっかだろうからあんまり意味ないかもだけど)

勉強時間的にもわりと満足

 

Bertiniの定理が一般の体上で示せなかったから5章が全て代数閉でしか言えないんだけど、どうやら多分一般の体だとBertiniの定理は成り立たない予感

実際、intersection theoryはなんか全く知らんけど数論で重要みたいで、つまりintersection numberがあるよ、みたいな定理は一般(一般の体上のvarietyとかそういうレベルじゃなくて、regular noetherian connected scheme of dimension 2とかいう死ぬほど一般の場合)で成り立つらしくて、その証明にどうやらBertiniの定理が使えないからMoving lemmaとかいうのを使うらしい

 

 

とりあえず今後なにやるか

とりあえずは今やってるZariski main theorem示して、Hartshorne2章7節かLiu8章1節でblowing-upをやって、そんでHartshorne5章2節に戻る

Hartshorne2章7節は死ぬほど一般的な状況でblowing-upやってて疲れそうだからLiuでもいいかも

んでそれが終わったら、Hartshorne5章がなかなかおもしろいから、先輩のすすめられたBeauvilleとかいう人の複素数体上の代数曲面の本やるのもいいかも

でもどうせ複素数体上でやるなら超越的な手法使っていろんなこと調べたいって欲求もある(つまりどっかで複素幾何ちゃんとやってからとか)

 

それかほかにFultonかこれまた先輩に教えてもらった本でintersection theoryもありかも

数論にも重要らしいし

どうせならあの有名な日本語の代数的サイクルとエタールコホモロジーみたいな本もいいかもしれない

エタコホは純粋にそれだけやると重すぎて死ぬのが目に見えてるしまじでぴったりかも

ただいきなり一般にintersection theoryをやると死ぬ可能性もあるから、どちらにせよFultonとかかも

 

それか半年くらいずっと言い続けてるけどAbelian varietyとか

Mumfordに不満しか言ってなかったけど、Hartshorneみたいに自分でばんばん代数閉の仮定取り除けるかもしれんし、それなら歴史的名著って言われてるこいつでやった方がいいかな、と

ただ確かシーソーだかキューブだか、そういう超基本的な命題の証明に確かBertiniの定理使ってたから、一部essentiallyに代数閉がいるのかもしれない

 

肝心のSilvermanの方は3章からまじで完全にただの幾何学になってるから、どうなるかわからん

ただ、HartshorneとかLiuにのってることを超具体的にやってるわけだから、そっち一通り終わったら練習としてやるかも

多分かなり理解に効果ある

 

 

まじで最近なんで数学やってるのかわからなくなってきた

何がやりたいかもよくわからんし

漠然と数論がやりたい、とは思うんだけどなに読めばいいかほんとにわからん

そうこうしてる内にもう3年生になってしまった

もう来年には卒研とか院試の勉強とかあるだろうからちょっと困る

院と言えば、どっか別の大学の院にいくのもいいなあと思ってたけど、ほんと気付いたら3年生になってたし、たぶんこれはこのままどこにもいかないんだろうなあ、と

広告を非表示にする