俺用の数論幾何roadmap(読む予定のものメモ)

 授業聞きながら数学するというスキルを身に着けた(というかやってみたら意外とできた)から今までやったことないルベーグ積分とかの授業中も数学できるようになってわりと捗る

ってことで(?)ここ数日色々調べたからまとめる

(んでどうでもいいことだけど、前「Arakelov理論はどこが数論幾何なんだ」って言ってたのが「ガロア理論のどこが方程式論なんだ」っていう問いと同じだって気づいた

ガロア理論を使って方程式を調べられるってだけで、(萌芽は方程式論だろうけど)ガロア理論自体は別に方程式論ではないただの道具だって感じ?)

 

 

とりあえず「こいつら目指しとけば数論のメインストリーム学べるっしょ」的な定理

・Weil予想

・Faltingsの定理(Mordell予想)

フェルマーの最終定理

 多分Weil予想がこの中じゃ一番簡単(エタコホだけでいけそう?MilneとDeligneだけ?)

Faltingsの定理と「modularity定理⇒フェルマーの最終定理」は多分ほとんど使われてる理論同じ

Abelian varietyとJacobean varietyちゃんとやってNeron model認めるなりなんなりすればもう論文読めそう

modularity定理はまだ何もわからん

この記事に書いてあるやつ全部終わったころにまた(そのころには学部終わってるかも)

 

 

Cornell,Silverman - Arithmetic Geometry

Math overflowとかでめっちゃ多くの人が熱烈に推してた本(大学の図書館のいつも使ってる部屋じゃないところの本棚にあったから論文集かも?)

学んだ理論とか、Neron modelを始めそういうこの先学ぶべきものが最先端の研究でどう使われてるのかを学ぶのに最高って言ってた

そんで、数論は前提が多すぎて全て学ぶのは不可能だから、そうやって「理論を学ぶ」より「理論を認めて理論の使われ方を学ぶ」方法を学ぶことの方がはるかに重要って言ってた(例えばNeron modelの構成はよっぽど構成法そのものが必要にならん限りやる必要ないって言ってる。ただHartshorneとかエタコホはもちろん全部ちゃんとやれみたいなこと言ってるし、全部自分で取捨選択するのは危険かも:

https://terrytao.wordpress.com/career-advice/learn-and-relearn-your-field/ の2008 7/7のEmertonって人のコメント参照(教授らしいってこととめちゃくちゃ高評価されてるってとこから信憑性あり。少なくとも俺の考えと対立したときになにも考えずにこの人の意見うのみにした方がいいくらいには。というか俺は昔からよく頑固だとか保守的すぎるって言われるから、頭いい先生の意見はとりあえず数学的素養が身につくまで鵜吞みにするべきな気がする))

とりあえずMilneのAbelian vartietyの章がAbelian varietyの勉強としても最適かも?

あとJacobianの章もその次に読む

その後Faltingsの章でFaltingsの定理の証明も追えば超いい

あとは↑のコメント通り色々さらっと(書いてある証明は全部追うけど~~参照とかかいてある証明は追わない程度のさらっと度で)読んで理論の使われ方を学ぶ

特に、まじで1mmもしらないけどArakelov theoryってやつ興味ある

こいつちゃんとやるためにはソボレフ空間とかの解析の知識がいるみたいだけど

 

Milne - Etale Cohomology

まあ基本

Lei Fuの本と比べてめっちゃ薄いし重要なことをまとめてあるっぽいしみんな名著って言ってるし、とりあえずはじめはこれでやるのがベストかも

↑の本のAbelian varietyの章の後半に必要だから、↑やって必要になったらこれやるって感じ

 

Bott,Tu - Differential Forms in Algebraic Topology

幾何学やる人の教養って面もあるけど、エタコホがこういう普通のいいコホをモチベーションに(というより、普通のいいコホと似た性質持つように)作られたものだから、そういう直感を得るためにも

あと普通に面白そう

エタコホの本やる前にさらっとやる程度で

証明は全部ちゃんと追うつもり

微分幾何?の先輩が後半は多様体に結構詳しくないときついとかいってたし、そもそもエタコホの直感のためにやるだけだからやって2章のPoincare dualityまで

Cechコホ=De Rhamコホまでは最低でもやる

ほんとは=特異コホもやりたいけど、たぶんこれは詳しい人にしてみれば明らかなんだろうし、そこまでいったらその定理だけどっかのpdfとかでやるわ

 

Diamond, Shurman - A First Course in Modular Forms

基本すぎる

今やってる

わりとたくさん勉強してきたつもりだけどこういうの抜けてるあたりやっぱ俺はまだ初学者だなって思う

これなしじゃ数論できないと思うけど、とりあえず自分のモチベ保つためとしては、Langlands programのstatementを理解したりのためにやるつもりで。

 

Bernstein, Gelbart - An Introduction to the Langlands Program

元自称数学好き高校生の血がうずくのと、同じくmath overflowとかで結構いろんな人が勧めてた

保形形式やったら読み始めてもいいかも

 

Cornell, Silverman, Stevens - Modular forms and Fermat's last theorem

 また元自称数学好き高校生の血がうずいた

同じような編者の一番上のやつに比べて大分簡単っぽいからどっか難しい本に入る前のタイミングで眺める程度に読むといいかも

それか↑と併読 内容わりとかぶってる気がする(俺がすでにやったことも多いし)

こんなたくさん読む本の分岐があると頭ショートする

 

Deligne - La conjecture de Weil: I

http://www.numdam.org/article/PMIHES_1974__43__273_0.pdf

DeligneのRiemann予想の証明の元論文?

Milneのエタコホの本にRiemann予想以外のWeil予想の証明がのってて、Riemann予想は証明されてないからこれ読む

エタコホやった後にやるといいかも?

めっちゃ短いしほんといい

完全にMilneエタコホのappendix程度の感覚で読める

 

Mazur - Modular curves and the Eisenstein ideal

http://www.numdam.org/article/PMIHES_1977__47__33_0.pdf

Silverman1冊目に定理の主張だけ書いてあったMazurの「 \mathbb{Q}上の楕円曲線のtorsion pointは \mathbb{Z}/N\mathbb{Z} \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2N\mathbb{Z} になる(Nは左が12以下(10以外)で右が4以下)」みたいな定理の論文

それ自体面白いし、なによりHartshorne読み終えたくらいにちょうどいいらしい(難しさもだし色々な理論の応用例としても)

保形形式の本読み終わればすぐ読めると思うし、保形形式→これandエタコホ並行くらいでもいいかも

 

Ribet - On modular representations of Gal (.../Q) arising from modular forms

https://math.berkeley.edu/~ribet/Articles/invent_100.pdf

Ribetの「modularity theorem(谷山志村予想)が正しければフェルマーの最終定理は正しい」の論文?

上二つの論文に比べてなんかめっちゃ難しそう、というかとっつきづらそう?Deligneの方はMilne読めば読めるだろうしMazurの方はmodular curveの理論プラスアルファって程度っぽいのに比べて、こっちはぱっと見の感じがわかりづらい

だけど、一番上においておいたurlのブログ??のコメントの人が「理論を認めてその使い方を学ぶのが数学を”研究する”上で一番重要。特にRibetの論文はたった10ページかそこらで超重要な理論がめっちゃまとまってて最高」って言ってた

とりあえずフェルマーの最終定理はいつか証明したいしこれはやりたい

こいつを読みながら、知らないところを見つけたら一番上のCornell, Silvermanでちょっと学ぶって感じがいいかも?

 

Wiles - Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem

http://scienzamedia.uniroma2.it/~eal/Wiles-Fermat.pdf

フェルマーの最終定理が完全解決した論文

全部ガロア表現の言葉でかかれてるから正直なにもわからんけどとりあえず有理数体上のいい楕円曲線はmodularであるって論文っぽい

んでそれが↑のRibetの定理を使うのに十分な仮定っぽい

もうここまで読めたら立派に数論幾何に入門できたって言えそう

半年くらい前先生がこの論文には2か所間違いがあるって言ってたからそこ注意しとくこと(もちろんフェルマーの最終定理はこの論文で解決したってみんな認めてるわけだから致命的な間違いではないはず。先生も普通に回避できるって言ってたし)

 

Liuの8章以降

必要になったらいずれ

めっちゃ基本っぽいことたくさんかいてあるけど、Silvermanやってからだとここまで一般にreduction考える必要ないんじゃないかとか思う

同じ理由で7章のHurwitz formulaもやってない(もちろん代数閉の場合はHartshorneでやった)

あと超絶一般的なdualizing sheafもやってない。Hartshorneの証明をいじって一般の体上でdualizing sheaf = canonical sheafを示したからこれで充分っしょとしか思ってない

ってことでほんと必要になったら

 

Silverman2冊目

気が向いたら

Neron modelの具体例的な感じでいい本だと思うからいずれNeron modelちゃんとやるときが来たら↑とともにやる

俺史上初本棚の肥やしになりそうでちょっと怖い(1章を図書館で借りてきてやって、面白かったから2章入る直前に買ったら2章から辛くてわりと新品同然のまま積んである)

 

Hartshorne5章の続き、あとはほかの本で曲面論

単純に面白そうだから気が向いたらやる

blowing-upの定義が大変すぎて2節以降読めてないからすぐにやることはないと思う

 

Fultonとかでintersection theory

幾何学的にも面白そうだけど、なんかまじで全く知らんけど数論でも標準みたいだから視野に入れておく(代数的サイクルとエタールコホモロジーとかいう日本語の本が数論幾何の素晴らしい本だって言われてるくらいだしたぶん超基本なんだと思う)

ただ、Liuをさら~っと眺めた結果、代数閉体上の幾何学的なintersection theoryと相対曲線上の(もっと一般的な対象の上でも理論があるかもしれんけど)数論的なintersection theoryには大分差があるみたいだから別物と思っとくべき

それにしてもそんなことまでかいてあるとはほんとLiuは素晴らしい本なのかもしれない

Hartshorneがほんとやればやるほど素晴らしいバイブルだっての理解できて、それに伴ってLiuがそんなじゃね?ってなってたけどやっぱこいつも名著なんだろうな

 

 

数学書のprefaceによくあるあの矢印みたいなやつ:

             Diamond, Shurman

      ↓                           ↓

      ↓        Bernstein, GelbartとCornell, Silverman, Stevens

Mazur

 

Bott, Tu

     ↓      Cornell, Silverman (のAbelian varietyとJacobian)

Milne          ↓                    ↓          ←この二つは互いに補い合う

   ↓              ↓                    ↓

   ↓  ↓  ←  ←                 同Faltingsの章

Deligne                            ↓

         同その他(理論より使われ方重視で)とRibet併読

                                        ↓

                                    Wiles

(RibetからはDiamond, Shurmanもいる)

 

あとはその他諸々

 

こう見るとDiamondから始まる方なんかわりと知識が辺境の地にたどり着きそう(んでそのわりに本の前提知識がほとんどなさそうだから少し怖い)だし下手したら途中でDiamondやめてBott, Tu行くかも

ただLanglands programは超絶大重要数論峠最高峰の予想だからいずれ絶対読む

下の枝の方ちゃんとやり終えたころにはこういう入門者向け読み物みたいなやつに頼らんでもLanglands programに入門できるんじゃないかなって感じ

それか下の方の断崖絶壁に疲れたら休憩としてDiamondの枝の方読むとかでいいかも(ただ俺は2冊以上同時に進められない)

 

あと最近一つ上の先輩とも割と対等に話せてる気がしてうれしい

今まで完全下位互換だったけどLiuちゃんとやって一般の体上の代数幾何だとまあまあこっちが教えることも増えた

しかも今までと違って割と認めてもらえてる気がする(前は「~~やりたいんですよね」系の話も「ここ~~じゃないですか?」系の議論も何言ってるんだこいつみたいな顔されてる気ばっかりしてた)

 

 

 

なんていうか、論文(?)を読むことになってかなり感慨がわいてる

論文ってまず名前がかっこいいしすごくすごいと思う