Cornell, Silvermanの本読む順番、moduliの参考書等

 dual abelian varietyでモチベがなくなって以降、とりあえずエタコホを再開した

半分読み物みたいなpdf読みながら随時Milneの本読んで、飛ばし飛ばしでだいたいsite上のcohomologyのcomparisonとかまでやった

そんでpdfで触れられてなかったところはとりあえず使わないんだろうと踏んでl-adic sheafとかの章を読んだ

constractible sheafとかいうのはまず定義がくっそ難しかったから、pdfで触れられていた場合の、有限群の成すsheafの場合のみで本を進めていった

そんでl-adic cohomologyの(簡単な場合の)定義をやって、pdfにあったいくつかの具体的な計算をやって、そのあとに基本的な性質(Kunneth, cycle map, Poincare dual, Lefschetz fixed point thm.等)を認めてWeil予想を追ってみた

んで簡単に解けるいくつか(zeta関数が、Frobenius mapがl-adic cohomologyに誘導する線形写像のcharacteristic polynomialであらわされること、関数等式、有理性の3つ)を追って一旦エタコホは終了した

Delogneは見た感じエタコホの基本的な性質全部追えるくらいの技量がないとさすがにちょっとだけ厳しそうだったから一旦後回し。

 

んでCornell, Silvermanのabelian varietyに戻った

忘れてたからseesaw principalあたりから読み返して、dualの章は飛ばして、End Xの章に入ったところで、飛んでもないギャップ(simple abelian varietyのend環はskew fieldであることを示せばいいけど、そんなのできるわけない)があったからSilvermanのThe Arithmetic of Elliptic Curves読んで、ギャップ埋めるのに使えそうな定理を一般の次元に拡張していく作業に移った

その結果、楕円曲線を有限群で割る操作が一般に拡張できない感じで証明されてたから、Mumfordの7節を読んだ

ここでvarietyを作用している有限群で割るって定理を追って、そっからabelian varietyは割ってもabelian varietyって定理追って、これでいけるかと思ったらまだ駄目だったから、今度はvarietyをfinite group schemeで割る12節を読んだ

これでabelian varietyの準同型定理みたいなのを示せて、ギャップ埋まった

んで副産物として、dual abelian varietyの構成もほぼわかった(実際難しいのはPoincare sheafの構成らしい)

そんでCornell, Silvermanに戻ってEndの章終えた

んで次はまたMumfordに戻ってRiemann-Rochとvanishing thm.を示した

(一部higher direct sheafの性質辺りでよくわからんところがあったから飛ばしたけど、ここは多分俺がへぼいってだけで、先輩に聞けばすぐ解決すると思ってる)

んでまたCornell, Silvermanに戻って、次は有限体上の決まった次数と次元のpolarized abelian varietyは有限個しかないって定理を追い始めた

ただ、ここでもまたすげえギャップがあったからそこはもう認めた(有限体上のabelian varietyのpolarizationに関するやつ。Mumford参照とかかいてあるくせに、いくらさがしても見つからない。easy lemmaとかいってるくせに、ネットでそれらしきもの探したら結構なページ割いてたし俺の知らん理論めっちゃ使ってたしこんなん無理)

んで今に至る

 

 

ここらへんで、この前かいた今後の指針の、以前「Cornell, Silvermanのいくつかの章を読む」としか決めてなかったところをもうちょい詳しく決めたからかく

 

Abelian varieties

Jacobian varieties(やらないかも もしくはFaltingsあたりに後回し)

height function(やらないかも)

Neron model(Silverman2冊目、Ribetと並行)

Faltings(moduliやってから)

 

Jacobian varietiesはめんどいしやらないかも

ただ、めんどうな構成を飛ばせばかなり楽(というかほぼやることなさ)そうだし、むしろこれやらないとabelian varietyやった意味なくなるだろうしやるかも

(abelian varietyの意義は結局主に曲線を調べるためだってわかってきた 次元をdじゃなくてgとかくのも多分Jacobian由来だろう)

 

heightもめんどい

ただ、Silvermanの楕円曲線の本一冊目のとき、ちゃんとやったらまあまあ楽しかったし、これやんないとMordell-Weil示せないとなると、abelian varietyやったのに、というむなしさが来る

heightとjacobianやらずしてabelian varietyやるとは、と言う感じ

 

Neron modelはSilverman二冊目と併読

んで終わったらRibet(逆にモチベのためにRibet読んでから必要になったら随時、って形でもいいかも)

まだなんも知らんけど、楕円曲線のreductionの一般化と考えると親しめそうか?

楕円曲線だと式があるから具体的にreductionできるけど、次元が一般的になると、reductするのに適した式を標準的にとるのが不可能?になるから・・・

というか、その標準的な式でできてる変なschemeをNeron modelと呼ぶのか?

 

Faltingsはちょっと前提知識半端なく多い

moduli stackとかいう半端ないやつが必要になったっぽい(moduliの存在を認めて、stackをちょっと勉強すれば読めるんだろうけど、moduli problemとか数学のすごい一大問題みたいなところあるし、ちゃんと証明もきちんと追って勉強するつもり)

そんでこいつに関して色々調べたから、少し気が早いかもしれないけど現段階でのmoduliに関する指針もかく

 

まず、とりあえず

https://math.stackexchange.com/questions/57648/good-books-expository-papers-in-moduli-theory と

https://mathoverflow.net/questions/44125/what-is-a-good-introductory-text-for-moduli-theory に色々かいてある

Faltingsでは、どうやらgenus gのsmooth complete curveのmoduli stackと次元g、次数dのpolarized abelian varietyのmoduli stackが必要っぽい

(対象の同型類を完全にパラメーター付けするのがfine moduliで、ほとんどの場合そんなもの存在しないから、その代替的に考えられるある程度パラメーター付けするのがcoarse moduliで、でもそれじゃ足りないから、schemeの圏を拡張して、無理やり作られた、同型類を完全にパラメトライズするやばいschemeみたいなものがmoduli stack、みたいな感じらしい)

 

 

http://www.math.leidenuniv.nl/~streng/modular/maarten.pdf

なんかめちゃくちゃさらっとかいてある講義ノート

もう読んだしここにかくようなもんでもないかも

まあでも気持ちはつかめるしいつか読み返すかもしれないからメモ的に

 

Cornell, Silvermanのmoduliの章

証明とか全然ついてないし参考文献すらかいてないけど、短いし、moduliの存在を認めてとりあえずの使い方?学べそうだし

 

Katz-Mazur - Arithmetic moduli of elliptic curves

とりあえず一番簡単であろう楕円曲線の場合

math overflowで一番goodみたいなのされてる人が勧めてる

でもtexじゃなくてwordだし、「とりあえず」にしてはあまりにも重そうだし、どうなることやら

 

Harris, Morrison - Moduli of curves

よくわかんないけど、目次見るに、Faltingsによく出てきてる記号がわりとすぐでてきてるし、多分(ほんとに多分)俺に今必要な知識が最短経路で手に入る本

色んな所でいい本ってかかれてるし

(最短経路が必ずしもいいとはもちろん思ってないけど、この分野どうもあまりにも広大だから、ほぼ最短経路のものをさらーーっと眺める程度にやって、実践しながら覚えていく、みたいにしないと一生をここで使い果たしそう

まあこれ自体かなり重要だしそれ自身応用みたいなところあるし、それでもいいんだろうけど

ただ専門を決めるにはあまりにも早すぎる)

 

http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.68.3914&rep=rep1&type=pdf

stackの講義ノート

めっちゃさらっとしか書いてないんだろうけど、最悪使いながら随時覚えていけばいいだろうし、moduli schemeある程度やったらこれやって次はmoduli stackやるとか

 

あとはなんかMumfordのGeometric Invariant Theoryとか、DeligneとMumfordのThe irreducibility of the space of curves of given genusとか、HartshorneのDeformation Theoryとかがよくあげられてるけど、目次見るとmoduliってかかれた章まであまりにも長いし、とりあえずmoduliの扱いに慣れるまでは、もしこの辺必要になってもblack boxとして使っていくつもり

(Deligne, Mumfordのやつはなんかmoduli stackの存在??を示した???論文っぽいけど)

 

とりあえずこんな感じだけど、各所でどうもmoduliに関しては「絶対これ」っていうようないい本が全然ないって言われてるみたいだし、色々たらい回しにされそうな予感

まあでもエタコホと違ってそれ自身も面白そうだし、つらくはないかな

 

 

 

 

 

今やってるabelian variety終わったあたりでLanglands programの本やるのもいいかも

ここで随時保形形式とか表現論やるといい感じ

ただmoduliにもどうやらでてくるみたいだから、そっちでやった方が楽しいかも

 

時間があったらどっかでintersectionやるのいいかも

abelian varietyで使う程度のintersectionはめちゃくちゃ古典的で超簡単なのだけだったから今のところたいしてやる必要はない 単純な興味

エタコホの基本的な性質(kunnethとかサイクル写像とか)もいつか示そうってなったときに漸次やってくとモチベも保てそう?

でもmoduliもやるとしら明らかにそんな時間はない

 

エタコホはいったん休憩か

とにかく難しいってことがわかったのとしばらく必要ないって感じ始めたのと

 

今は図書館で借りてやってるけど、そろそろCornell, Silvermanを買いたい

わりと深くやりそうだし、買う時期間違えると買う意味なくなるし

 

ブログがやばいほど長くなってきた

勉強してること複雑になりすぎて、今後の指針とか書かなきゃもう頭こんがらがる