もう少し頻繁に書かないとブログやってる意味なくなりそうだから書く

とはいうものの、俺のこの記録癖(とでも言うもの)自体に意味があるんだろうかわからん

 

まずMilneのablian varietiesは一旦終わった

前回つまってたところも、俺が群コホの知識なかっただけで、ちょっと調べたらすぐ解けた

そっからは、18章で大量に参照されてたaffine group schemeの深い定理はもちろん認めて(これからは多分深く学ぶ理論でもこの程度の『認め』は必要になってきそう。こういう一回しか使われない他分野の深い定理いちいち追ってたら人生足りなくなる)、19章は一部わからんかったところあるけど普通に追って、20章は多分MumfordのGITでやるから飛ばした

 

んでheightはいずれやるだろうけど一旦飛ばしてMilneのJacobian varietiesを読み始めた

まあある程度認めながらきちんとやっていこうと思う

(くっそどうでもいいけど、1年のころから色々なところで出会うJacobiをずっとふざけて「ジャコビ」って読んでたせいで、最近は素でジャコビって言ってしまう

いずれ恥をかく場面が来そうだから頭の中でもちゃんと「ヤコビ」って読もうと思う

とか思ってたけど、英語圏の人間って勝手に自国の発音で読んだりする(Deligneなんてマジで「ドリグネ」って呼ばれてて可哀そう)し別にいいかもね)

 

 

前回よりちゃんと考えた今後の予定

 

まずはHindry, SilvermanのDeophantine Geometryもいいかも

どうやらこの本、めちゃくちゃ初等的にFaltingsの定理示してるっぽい

Jacobianさえ終わればもう全部きちんと追えるくらいの初等的さ

ほかにもRothの定理とかSiegelの定理とか、俺がいっちばん興味ある対象がめちゃくちゃ載ってるし、しかもその上Jacobianとかの数論幾何的な対象の使い方も学べるし、とにかく最高の本な気がしてる

まあこれでFaltingsの定理追っても、Neron modelとかmoduliとかの勉強のためoriginalの方(Cornell, SilvermanのFaltingsの章)も読むつもりだけど

heightがメインツールっぽい

Silvermanの2冊の楕円曲線の本同様、こいつもそこまで明にはschemeの言葉使ってないだろうから、めんどくさい証明してるところはCornell, Silvermanのheightの章でやるといいかも

(またどうでもいいことだけど、俺Silvermanの本やりすぎで笑える)

 

多分次はNeron modelの章やる

とは言っても存在は認めるから2日くらいで終わりそうだし、それならDeligne, Mumfordで必要になってからやった方がいいかも?

今のところNeron model以外はちゃんと使われてるところをやりそうだけど、Neron modelだけはまだあまり必要性が感じられない

必要になったらこれやって、んでSilvermanの2冊目のNeron modelの章やればよさそう

 

で次はかなりの時間を食うであろうmoduli

 

まずはMumfordのGeometric Invariant Theory

多分曲線もabelian varietyも、具体的にcoarse moduli構成してる

というか、そうじゃなかったらくっそめんどくさい

前回書いたHarris, Morrisonのやつちょっと眺めてみたら、なんか \mathbb{C}上のcoarse moduliしか考えてなさそうな上、(ほんとに多分だけど)構成自体はしてなさそうだった

ということで、構成もやるなら多分GITが最適?

ただ構成そのものが必要なのかがわからん

ということで、やっぱり存在は認めてHarris, Morrisonで深くやったり、使い方を知るためにFaltingsやるってのもよさそう

ただ後者の場合、少なくともstackの知識は多少なりともいる

 

Olsson - Algebraic Spaces and Algebraic Stacks

stackの入門書 

Deligne, Mumford読めればそれでいいしもっと軽いpdfとかで適当にさらっとやってもいいかも

moduliを専門的に勉強しようって決めたならこういうがっつりした本やるべきなんだろうけど、いちいち専門も決まってないのにこんながっつりした本毎回やってたら人生足りない

ただ11章の1節の初めの定理は純粋に気になる

(いいalgebraic stackには必ずcoarse moduliがあるとかいう定理

algebraic stack  \mathfrak{X}のcoarse moduliとは、任意の代数閉体に関して、点が \mathfrak{X}の対象と一対一に対応したりなんなりするalgebraic spaceのことらしい

つまり例えば曲線の場合なら、曲線全体の圏を考えて、そいつがいいalgebraic stackになってることを示して、そのstackのcoarse moduliを考えると、(そいつが実はschemeであるってことを示したうえで)そいつが曲線の(scheme theoriticな)coarse moduliになってるってことが言えるってことらしい)

 

Deligne, Mumford - The irreducibility of the space of curves of given genus

曲線のcoarse moduliがirreducibleであることの2通りの証明を与えてる論文

多分、ほんとに多分だけどこれで曲線のmoduliがvarietyだってことがわかる

一つ目はstackとか使わず、Neron modelとかなんとかを使って曲線のstable reductino theoremとかいう定理を示してる

二つ目がstackを使う証明

どっちの証明方法もここまでに学ぶ理論の応用としてよさそう

 

ここまで終わったら次はとうとうFaltingsの章か?

ここらあたりからはまだ未定

まあどうせ先のこと考えても予定なんて変わっていくだろうしそのときになったらで