数学

研究の記録と日記

5月中旬までゼミの勉強しかできなかった

ゼミは3章のガロア表現入ってから証明を8章以降に飛ばしたりそもそも証明がなかったりのやつめちゃくちゃ増えてやる気なくなった

ほとんど証明追うだけになって、逆にそのおかげで自分の勉強するようになった

そんで5章真ん中くらいまでいって、これ先生に言ったら一旦中断して8章やることになった

 

そんでFuのAlgebraic geometryに戻って、三日くらいかけてGrothendieck existence示して、あとFGA explainedも読んでalgebraizationも示した

 

そんでKatz-Mazur戻って5章終わらせた

記録見返すとここで2週間くらいかかってるけど、こんな長かったっけ

松村12章以降のJ-2 ringとかN-2 ringとかexcellentとかよくわからんけど、そこら辺の環論の定理二つくらい認めた

ちらっと見てみた感じ、せいぜい数十ページ程度だったし、わりと独立してて楽そうだったからいつか松村12,13,14あたり読むかも

 

んで6月入る直前くらいにDelgine-Rapoportに戻った

とりあえず2章はあれ以降もう触れてない

2章はEGAのわけわからん定理参照しまくっててうざいし、本質は3章以降だし、さらにだからなのか2章は他のところより証明が雑な気がしてとにかくむずい

 

んでDeligne-Mumfordも参照しながら3章の定理1.2をほぼ完全に示し切った

曲線+足し算のdeformationのpro-representabilityを最初に示してたけど、これ文献ないし、Schelessingerの例3.7もこの場合に修正できなくてわからんかった

んでgeometric fibreが既約の場合は曲線+sectionのdeformationと同型になるけど、この曲線+sectionのdeformationのtangentとかobstructionに関する文献もなくてわからんかった

けど、Schlessingerの例3.7は全部曲線+sectionにも適用できるから、このfunctorのobstructionとinfinitisimal automorphismを調べれば十分ってことになって、それも曲線のdeformationとtangentが同型になることと、sectionがsmooth locusにいるからformally smoothnessよりsectionも自動的にdeformすることから、結局ほとんど曲線のdeformationと同じ扱いができるってことを自分で示せた

しかも一般の場合も全部既約の場合に帰着できるから、結局俺がわからなかった曲線+足し算のdeformationの議論は全部回避できた

最後に、universal deformationの局所環の情報とsingular locusが0次元のl.c.i.のobstructionが \operatorname{Ext}^2にいるってことがわからん

局所環の方はDeligne-Mumfordにのってるけど、81ページの議論が文献もなくて理解しきれん

obstructionの方は、obstructionが H^p(\mathscr{E}xt^{2-p})にいることは普通に一般論だから、今の場合 H^2(\mathscr{E}xt^0)だけが大事ってとこまではわかる

この二つは普通にdeformationの一般論だし、結局曲線だとこいつ消えるからとりあえずD-Rの1.2は完成

いずれやる

 

んでArtin criterion使ってgeneralized elliptic curveのstackがDeligne-Mumford stackになるって定理入ったから、このためにLaumon-Moret-Baillyでstackの一般論やろうとしたけど、そもそもD-MとD-RとこのLMBで全部algebraic stackの定義が違うから意味不明

D-Mは普通にschemeの圏上のほぼschemeなstack、D-Rはschemeの圏上のほぼalbebraic spaceなstack、LMBはわけわからんことにaffine schemeの圏上のほぼalgebraic spaceなstackとして定義してる

同値になるかもわからんしやる気そがれたから、細かいところは気にせずD-Rやると思う

D-Rの記述(algebraic spaceのことを自己同型をもたないDeligne-Mumford stackって言ってる)みるに、多分coveringとdiagonalに関して、schemeかalgebraic spaceかって違いは無視できる(かもしくは同値)っぽいからやっぱりあんまり気にしなくていいと思う

もしくはalgebraic spaceの定義の違い

schemeの圏かaffineの圏かの違いはなんか張り合わせ使って完全に無視できそう

ちゃんというと、LMBのalgebraic stackの圏とD-Rのalgebraic stackの圏は同値かもしれない)

とにかく、細かい理論やったあとから修正するのも簡単だしとりあえずは深く気にしないことにする

algebraic spaceもDM stackも、個人的にはD-Mの定義が一番わかりやすくて好きだから全部それと同値になってくれればありがたい

Artin criterionはもちろん認める

algebraization of formal moduli Iの該当部分だけならわりと短いけど、このためにさらにArtinの近似定理みたいなやつとか使いまくっててやる気にならない

 

ようやく本質的な部分に入れた

4年次まとめとか

後半はかなり進んだ

ただそのおかげで、3年次と4年前半をめっちゃ無駄にしたと気づいた

ただ、この無駄な期間はそもそもモチベとかなかったし、ここ飛ばして4年後半にやったこと始めてたとしても多分そこまで進んでなかったからまあいいとする

 

かなりの段階まで来たけど、とりあえず就職するか博士に行くかをそろそろ本気で決めなきゃいけない

去年くらいまではノータイムで博士って言ってたけど、ポスト就けるかもわからんし、就けなかったらわりと人生詰みそうだし、そもそも27,8歳で親のスネかじって生活したくないし、しかも就職したら多分かなりいいお金もらえるだろうし、正直就職に傾いてる

まあ先生は博士も最近は就職割といいって言ってるし、色々相談して決めたい

…とか思ってたらこの事態で先生となかなか相談ができない

就職もわりと厳しくなりそうだし

(旧帝修士出るわけだし、さすがにほかの人ほどは関係ないとは思うけど)

 

ってか俺が博士行かないって判断下す世の中って大分まずいんじゃないの

俺が天才で数学界の損失が~とかそういうわけじゃなくて、18歳から今までの数年を数学に費やしてきた自負がある人間が研究者ならない方がいいかもと思ってしまうのは普通にまずいでしょ

 

 

まあとにかく以下去年度のまとめ

 

Deligne-Mumford, The irreducibility of the space of curves of geven genus 前年度~4/13

なんかstackとかも載ってるしめっちゃ有名な論文だから読んだって感じだった気がする

この一か月はもろに無駄だったきがするな~~~

確か1章はdeformation以外ちゃんと読んで、2章のstable curveのJacobianあたりわからんから3章も飛ばして、4章は前半だけなんか眺めて、5章は最初の1,2ページ以外意味不明だったからやめた

でも、Deligne-Rapoport読むときにこいつの1章の内容のgenus 1バージョンをわりと使ってるから、もしかしたら無駄ではなかったのかもしれない

それ以外は無駄

 

これ終わったあたりから院試と卒研を始めた

卒研はだいたい2週間の内3,4日だけど、院試は期間によってほぼ毎日やってたから9月くらいまで超低速

 

Olsson, Algebraic spaces and algebraic stacks 4/14~27

どこ読んだか忘れた

ブログにもかいてないし

なんかD-Mのstackの部分にのってる定理がどこにあるか確かめたり、fibred categoryとかから少し読んだような気がする

みになってねえ

 

Tu, An introduction to manifolds 5/1~6

Bott, Tuちゃんとやるために微分形式のところをちゃんと読んだ

 

Bott-Tu - Differential forms in algebraic topology 5/6~25

確か普通に最初から読んで、1章5節くらいまでやった気がする

なんかのpdfと合わせて、compactじゃない場合とかに一般化したやつを示した

モチベなかった&卒研&院試で死ぬほど低速

 

Griffiths-Harris, Principles of algebraic geometry 5/28~30くらい

ここらへん、確かD-Mで古典的な曲面とか出てきて、やっぱ複素幾何いるかなあってなったからやってた気がする

でも1章がただのまとめだったからなんかほかの本に移った気がする

 

Hatcher, Algebraic topology 6/1~18

ホモロジーの章を全部わりと真面目に読んだ気がする

そんでappendixでCW complexとかもやって、Kunnethとかやった

Poincare dualはなぜか飛ばした

これは単純に面白いし、直接は使わないけど、考え方とか非常に役に立ってる

本自体も直感的でいい本

 

Voisin - Hodge theory and complex algebraic geometry 上のやつと同じくらいの期間

確か初めの章のsingular cohomology = Cech = derivedとかをやった

Kahler manifoldの定義とかもやろうとしてたけどなんかめんどくてやめた

複素幾何はdifferential formの定義もめんどい

 

これ以降はしばらく院試と卒研しかやってない

あとハーツホーンの演習問題いくつかやってた

 

Katz-Mazur, Arithmetic moduli of elliptic curves 7/15~8/2

formal schemeよくわかんなくてEGA Iの10章とか読んだりしながら2章の途中までやった

ここらへんでようやくモチベ回復した気がする

(ただ院試のせいで進みはそこまでだった)

ただ、formal schemeのやつはEGAとかいらんかったし、なんならこのEGAの議論は今も使ってないから無駄だったかも

 

こっから確か院試しかやってなかった

たまに暇つぶしでハーツホーン読んだりマンフォードのabelian variety読んだりって程度

院試勉強こんなにやる必要なかったのにな、心配性すぎる

ここら辺はすでにさすがに100%受かると思ってたからいいけど、6月くらい結構辛かった

元から絶対受かるとは確信してたけど、万が一落ちたら絶対数学やる資格ないし

 

Kleiman - The Picard scheme 9/1~5

こっからほんと強い

めちゃくちゃ進んだ

なんで始めたかは覚えてないけどほんと英断

Picard schemeなしとか考えられんし

 

Vistoli - Notes on Grothendieck topologies, fibered categories and descent theory 9/6~14

Kleimanでfppf site上とかのsheaf出てきたからちゃんとやるためこいつをやった

Milneのエタコホで一応やってたけど

これはガチで英断

flat of locally finite presentation⇒openとかもstack project読んでちゃんと示した

ってか、constructibilityのChevalleyがくそ強い

こいつをnon-noetherで一般化して示して、あとはstable under generalizationとか、位相空間の一般論で全部倒せる

好き

あと、flatnessのlocal criterionとかfibre-by-fibre criterionとかmiracle flatnessとかも全部non-noetherでやった

んで後ろの余白にめっちゃまとめた

ほんとうれしい

んで4.25にでかい行間、というか著者のミスとしか思えないところがあって少し困った

埋めたけど

あとBLRのNeron modelsでGalois descentもやった

これでdescent一気に倒したのでかすぎる

descentは絶対誰にも必要だけど、アブストラクトすぎてモチベがわかないとできないんだよな

だから「やれ」って言われてできるものじゃないと思ってる

 

Conrad - A modern proof of Chevalley's theorem on algebraic groups 9/15~18

確か次のSerre-Tateやるために読んだ気がする

quotientの存在は認めた

SGAとかも読んで、群スキームの一般論もかなりいい感じにやって論文の余白とかにきれいにまとめた

んで普通にいい感じに進んでたけど、確か3章あたりに、使い道0みたいなEGAの引用でてきてやるきなくなってやめた

まあこの辺の群の二つの構造定理(linera + properにわかれるやつとunipotent + torusにわかれるやつ)は認めやすいしとりあえずはいいや

 

Serre-Tate, Good reduction of abelian varieties 9/19~22

main theoremだけ読んだ

これ構造定理認めたらほとんどやるところない

でも楽しい

 

Kleiman - The Picard scheme 9/22~10/17

なんか一週間くらい卒研しかやってない期間があるけど

とりあえずこれに戻った

普通に最初からどんどん進めた

各fibreでconnected componentをとるやつがopenになることは認めた

んで普通に5章まで読んだあと、これ使って今まで飛ばしてたabelian varietyのdualの存在示せるんじゃないかって苦心し始めた

そのために6章も読んだり(ここで2週間くらいかかった)、Mumfordのabelian varieties読んだり(これで1週間弱かかった)した

結局Hopf代数の一般論とあとちょっとした議論で \dim \operatorname{Pic}^0_{X/k} = \dim Xが示せて、よってsmoothが言えて終わりだった

 

Hartshorne, Residues and duality 10/18~11/14

Fulton, Intersection theory 10/21~11/5

なんか覚えてないけどこの二つ同時にやってたっぽい

導来圏は確かGrothendieck spectral sequenceとかの議論ちゃんとやりたかったのと、エタコホに必要だからやった

intersectionもエタコホのLefschetz trace formulaとかでちゃんと使えると便利だからやった

導来圏は普通に1章読んだ

しばらく使ってないから細かいところ多分忘れてるけど、これのおかげでcoherent sheafのproper morphismでのpush forwardがcoherentになることとかがそれなりに簡単にprojectiveに帰着できたりして便利

導来関手の合成も好き

Fultonの方は初めから読んでって、pseudo divisorとかがくそめんどくさくて飽きた

普通にCartierだけ使ってもできるけど、とにかく長いしやる気なくなった

 

Fu, Etale cohomology theory 11/8~12/8

5章くらいからそれなりにちゃんとやった

エタコホなんだかんだいってほぼ全く使ってないから結構また忘れてるけど、とりあえず基本定理もいくつか示した

行間ほぼないし、手法がめちゃくちゃ自然でめっちゃ好き

ただsmooth base changeは許さん

証明長すぎてアホ

 

Fulton 12/10~25

FuのエタコホでPoincare dualityをだいたい倒して(なんか覚えてないけど最後のところがめんどくなってやめた)Lefshetz trace formulaまで来たからFultonに戻った

pseudo divisorの議論回避できることと、Grothendieck-Riemann-Rochやりたいだけなら1章~6章だけ読めばいいことに気付いてやる気戻った

vector bundleの言葉でかいてあるのが結構たるかったけど簡単だったし特に問題なし

使ってないから多分細かいところ忘れてるけど

とりあえず、軽くGrothendieck groupとかの一般論も余白に書いて、本に書いてないprojectionの場合のGRRを示した

closed immersionの場合はめんどいのと結構むずかったので飛ばしてしまった

なんで最後の一歩でいつもめんどくさくなるんだろう

 

Katz-Mazur 12/25~1/27

前期は確か1章ほぼやってなくて2章の途中までやったから、今回は普通に初めからやった

ただ1章8節以降は読んでない

(今のところ引用されてるところもこれ普通に回避できるし普通に有用性がわからない)

formal completionのところもちゃんとやった(これEGA読む必要なかった。普通にsheafの同型示すだけでよかった)

2章のラストのdeformationのところは飛ばして、途中のrigidityとかはMumfordのGITもやったりしてとりあえず4章までやった

4章はstackの補題とかもたくさん書き込んでstackの言葉に直したりしてやった

これほんと便利

4.7.0で群の割り算出てきて、また楽に示せる方法ないか探してたら、BLRのNeron modelsの8.2のtheorem12示せばそれだけで終わりって気づいたからやった

ほんとうれしかった

Hilbert scheme使えば割り算の存在くっそ楽勝らしい

なんでこれどこにもかいてないんだ

んで5章の一番初めにdeformation必要だったから一旦中断

 

Kai-Wen Lan, Arithmetic compactifications of PEL type shimura varieties 1/30~2/4

偶然見つけた

これめっちゃムズイ本っぽいけど、必要なことめっちゃまとめてくれててクッソ便利

これでsmooth varietyのdeformationとかabelian varietyのlocal moduliのformally smoothnessとかやった

あとSchlesingerも必要なところ読んだ

obstructionとかの構成もめちゃくちゃ自然で好き

 

Katz, Serre-Tate local moduli 2/5,6

deformationの一般論やったから、K-Mの2章ラストで必要なこれ読んだ

なんか一か所一般には言えるのかどうかわからんところあったけど、とりあえず本文中で使うartin環で言えるからオーケーってことにしといた

多分最低でもcomplete noetherianなら言えると思うけど、まあ必要になったらまた確認しなおす

 

Katz-Mazur 2/7~16

飛ばしてた2章ラストも全部やった

んで5章戻ったんだけど、なんかここでほんとに \mathbb{Z}上でこんなに苦労して話進めるのに価値あるのかと謎になってきた

あと普通に5章のmain theoremの主張もまだ理解できなかった

(deformationのpro-representabilityだけじゃなくて、effectivityも必要だった。

必要な理論の名前とか定理について一切の言及がないからそんなことも知らずに色々苦労してしまった)

んであと \mathbb{C}上でのやつ知らなきゃってなってまた色々探し始めた

 

Saito, Fermats last theorem 2/17~24

色々読んだけどちゃんとは書いてなくて怒った

んでConradのpdfとか読んで、なんか解析的なgeneralized elliptic curveのstackみたいなものを考える必要があるとわかった

こんなのさすがにやってられないし、これだけ理解してればいいだろうと思って終了

(ゼミで先生に聞いてみたら、なんか \mathbb{C} - \mathbb{R}にmoduliの解釈与える補題とか使えば解析的なstack使わなくてもできると思うって言われた)

 

Deligne-Rapoport 2/25~3/16

どちらにせよこれもいずれ必要だったのと、K-Mのdeformationのところがわからなかった(というより必要な理論がわからなかった)からこっちやった

これ証明言葉足らずすぎてほんとにきつい

でもとりあえず2章1節は補題二つ覗いて全部行間埋めた

マジで褒めてほしい

あとNeron n-gonのblowing upとか、strongly projectiveだってこととか、明言されてないことも色々示した

んで3章のdeformation入って、なんかscheme + morphsimとかscheme + sectionのdeformationが使われてて、これにSchlesinger適用できるのかよくわからなかったから一旦中断

 

Schlesinger, Functors of artin rings 3/17~3/25

とりあえず全部読んだ

初めの方死ぬほど簡単なのにmain theoremだけ言葉足らずでモチベめっちゃ死んだ

最後の例も読んだけど、結局D-Rはいまいちわからん

またD-Rに戻ったら読み直す

 

Fu, algebraic geometry 3/28~4/2

結局Kai-Wen Lanのpro-representabilityの節にのってる定理(証明はない)だけ全部やればK-Mの5章のmain theoremの主張は理解できると気づいた

んでD-RのArtin criterionもそのあとにArtinのalgebaization of formal moduli Iやれば多分いける

ってことで、偶然このpdfにKai-Wen Lanの定理の最後の一つ以外がのってることに気付いたから読み始めた

(最後の一つもFGA explainedのdeformationの章の4.10に乗ってる。証明はめっちゃ短くていい感じ)

 

formal schemeの書き方めっちゃわかりやすくていい

formal function theoremとかもようやくformal schemeの言葉でわかっていい感じ

あとはGrothencieck existenceのみってところまでやってゼミ始まったから一旦中断

はやくこっちも進めたい

 

 

 

こう見ると、マジでdeformationでやる気そがれるまでは後半めっちゃいい感じだった

フェルマーの最終定理とかファルティングスの定理まであとほんとにもう一歩

このまま頑張りたい

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バックトゥザフューチャーが本気で面白すぎた

こんな面白い映画見たことない

ってか漫画とかアニメとか全部合わせてもこれより面白いのは見たことがない

今の俺らにとってみたらよくあるタイムトラベルものだけど、当時の人たちにしてみたらめちゃくちゃ斬新な設定だったんだろうし、そりゃ30年以上愛されるわなって感じ

俺もリアルタイムで見たかった

たまに「最近の映画はゴミ。見てる奴は恥ずかしい」とか言ってるやついるけど、ああいうのが沸いてくるのもマジで仕方ない

適当にアニメみて喜んでた自分が恥ずかしいくらいに面白かった

それくらい面白い

今後は昔の映画見る

 

あと永夜抄のルナ妖夢ペアでやりはじめた

相当に上達してる

永夜抄はボムたくさんあるし、ノーミスボムありならいけそうかもってくらい

 

あとコロちゃんのせいで引っ越しできなかったから東大いけなくて本借りられないうざい

10冊以上借りたい本あったのに

先生にゼミの本おくってもらっちゃった

あと同級生と数学の話するのが大学に行く一番の利点だと思ってるから、この状況はマジで大学入った意味がなくて困る

 

東大に入ったもう一つの目的が推しvtuberのリアイベに行くためだったけど、これはそもそもリアイベ自体が開催中止になってるから嫉妬で死ぬことはなくなって不幸中の幸い。

 

あとゼミで指摘されて気付いたけど、俺各fibreで同型だったら全体でも同型って勘違いしてた

 f: X \to Yに関して、etalenessが(Y上の)fibreごとに判定できると勘違いしてたのが原因

unramifiednessはいいんだけど、flatnessをそれで判定できるわけない (体上だと全部flatになるからいいわけないだろアホか)

ただ、XとYがS上でlocally finite presentationでさらにXがS上flatだと、flatnessを(S上の)fibreごとに判定できるから、この場合は同型もfibreごとにいける

 

あと深夜に桜見ながら吸うタバコがガチでうますぎる

 

 

De-Raはガチで進まんかった

証明が手抜きすぎる

2章1節を命題14と15くらいを飛ばして最後までやった

やりたいのは3章の2節以降なのにそれ以前が重すぎるし飛ばすには本質すぎる

辛い

 

んでpro-rep functorのeffectivityとかやるためにSchlessingerちゃんと読んでArtinのalgebraization Iとかを斜め読みした

結局Grothendieck existence thmやるためにFuのネットに落ちてるやつを読み始めた

 

んで色々やって、あとはKai-Wen Lanの2.3.1.1~2.3.1.4だけ(Fuの最後の方のやつ。2.3.1.4はFuにのってないけどFGA explainedの4.10にのってる)ってところでゼミの範囲決めたからそっちに移行した

ここらへんからようやくモチベ回復してきた

 

ゼミは斎藤先生のFLT2章からやることになった

この本が認めてるところは全部黙って認めるのが多分一番いいんだろうけど、やっぱり気持ち悪い

かといって全部追うとDeligne-Rapoport3章まで全部必要になるから死ねる

先生に聞いてみたら、どこを認めたかは意識しろって言われたけどあとはだいたい同じこと言われた

(これマジで数論あほでしょ

あと数十年もしたら大天才以外研究にたどり着けなくなるんじゃないの

俺らが凡人が数論をできる最後の世代なんじゃないの)

でもKatz-Mazur4章までやったのが大分効いてていい感じ

この本が認めてることもだいたい示せる

んで今回のゼミはgeneralized elliptic curve定義して(De-Raの2.1.15使ってDe-Raと同値な違う定義を採用してる)、j-invariant定義して、stackの簡単な補題いくつかやって、ここで1時間終わった

飛ばし具合はいい感じって言われた(気がする。zoomで音声だぶっててあんま聞き取れなかった)

でも正直もっと飛ばし飛ばしやってもいい

ってかそうしないと全然足りない

下手したら次回やる X(3)の構成ほぼ全飛ばしでもいいかも

そのくらいのペースでやんないと、1週間に数ページしか読めないことになるし、そうなると修士終わるまでに何もすすめないことになる

ただそこまでやったらゼミってかなんか別物になりそう

 

もう一人の人がstack知らないって言ってたから、ほんとはもう少し詳しく発表したかった

 

1時間半で発表範囲増やせるならいけど、あまり増やせないようならゼミの勉強だけやってちゃだめだから、またグロタンエグジストとかやる

 

 

終わり

 

卒業できた

事務の人から「お前卒業式で卒業証書受け取る係の候補ね」みたいなメール来たから単位発表より早く知れた

ほんとよかった

 

この記事、学部最後の記事だろうから少しだけ感慨深い

学部の勉強の記録全部たまって楽しい

1年の終わりから始めたから3年ちょい分しかないけど、1年のはじめの方なんてうんこみたいな理解しかできてなかったし多めに見るわ

(逆に今の理解も数年後に見たらゴミになるんだろうか

いや、むしろそう思えるくらいに成長できればうれしい)

記録つけるのほんと好き

記録オタクみたいになってる

 

来月かもしかしたら今月の終わりくらいに4年次のまとめとプラスで学部でやったことまとめも書くかも

 

 

前回以降、確かKatz-Mazurの5.1.1を認めて楕円曲線のstackの性質色々示した

そんで \mathbb{C}上でこいつが \Gamma \backslash \mathbb{H}とRiemann surfaceとして同型になることを示そうとして色々文献調べてた

斎藤先生の本とかDeligne-Rapoportにのってるとかいってるのたくさんあったけど、これどう考えても \mathbb{C} rational pointsの全単射示してるだけにしか見えない

Conradのこのリンクにあるpdfが解析的な楕円曲線のstackとそのcorse moduli manifold  Mの性質色々調べて、代数的なuniversal curve  E/Y(N)の解析versionが誘導する射 Y(N)^{\text{ann}} \to M全単射なこと示してokって感じで示してた

楕円曲線のstackがこのfull level Nでカバーされるから、こいつらだけ示せば残りのレベル構造も終わり)

generalizedの方はどうやってやるんだろ

coarse moduliのsmoothをrepresentする部分が( \mathbb{C}上で)denseだってことが言えれば、こいつら全部曲線だから Y \to \Gamma \backslash \mathbb{H}がcusp含むやつらにも拡張されて終わりなんだけど

解析的なgeneralized elliptic curveのstack考えるとなるとmanifoldだけじゃなくてanalytic spaceとかも考えなくちゃいけなくなるだろうし、その文献もないからやりたくない

virtualmath1.stanford.edu

詳しいことは解析的な楕円曲線(の族)やるの面倒だからとりあえず飛ばすことにした

 

そんでDeligne-Rapoport読み始めた

体上のnodal curveのdualizing sheafが、そのnormalizationのdualizingから記述できるってやつ示して、Neron n-gonのnormaizationみたいなやつがblowing upだってこと示して、そんで今まだ2章の命題13

とりあえずLaumon, Moret-BaillyのChamps algebriquesとKnutsonのalgebraic spaces借りてきたから、飽きたりしたら3章のstackの章とかと並行してやっていく

 

なんか今回は長くなりすぎる前にブログ更新できた

ってかあんまり進んでないだけかもしれん

今また若干モチベひくめ

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妖々夢ファンタズムをノーミス3ボムノー結界で11.7億とれた

多分今の俺程度のプレイ時間じゃ12億以上は無理

毎日1時間とかやらないとこれ以上うまくはならなさそう

 

指導教員が第一志望の人に決まった

でも卒業できるか不安すぎて数学が手につかない

最後にとったカス授業が、去年までは発表した人全員に単位でてたっぽいけど、今年から先生変わったから安心できない

俺ら発表ちゃんとやってなくて先生に怒られたから怖い

卒業できなかったら吐く自信ある

 

 

Fultonは確かGRRの章入って、本に書いてなかったprojectionの場合を示して、本に書いてあったclosed immersionの場合がめんどくさくてやめた

projectionの場合はGrothendieck groupの基本的な一般論をちょっと進めればすぐできるって感じで、多分本に書いてなかったのは普通に紙面のスペースの都合

tangentのtop chernの積分=エタコホのeuler characteristicを示したかったけど、先生に聞いても全然文献見つからないからまだできてない

 

んでKatz-Mazurに戻った

普通に1章から読み返した

1章は7節まで読んで2章入った

(1章8節以降は使い道マジでわからん。たまに引用されてるけど、どの定理も自明な主張しかしてないからマジで必要ない)

Grothendieck dualityは出会う度に毎回「この場合に限れば簡単に示せないか」ってめっちゃ悩んで結局無理で時間を無駄にするから嫌い

認めた

でformal completionも(多分)ちゃんとやって、rigidityはなんかよくわからん制限ついてて謎だったからMumfordのGITでやった

(これ使うと3節あたりの内容ほとんど必要なくなるし一般次元だし、なんでK-Mはこっち使ってないのか謎。多分formal parameter使って直感的に議論したかったんかと予想)

でmoduliの例と最終節のdeformationは飛ばした

3章は特に問題なし

4章も7節までやった

4.7.0はめっちゃ時間かかったけど

あと4章はできるだけstackの言葉に戻しながらやった

この本、stack使ってないくせに、stackの言い回しとか多用してるし、stack知らないと意味わからない議論を一切言及せず使ってたりしてる

んで4.7.0示すついでに、BLRのNeron modelsで一般の群のfree actionのquotient示した

ずっと悩んでたやつだけど、BLRの定理ひとつ読めば全部終わった

大分すっきり

 

ここらへんでいったんFuに戻ったけど、なんかすぐ飽きてまたK-Mに戻った

 

んで5章入って、まずは証明中使われてる2章9節のSerre-Tate theoremを示すため2章に戻った

KatzのSerre-Tate local moduliって論文で証明追った

一か所abelian varietyのdeformation(というか、abelian varietyのlocal moduliのformally smoothness)が使われてたからめっちゃ文献探した

ついでに、公理Reg4になんかよくわからんdeformationの言葉が使われてたからそっちもめっちゃ探した

色々探しまくって、結局とりあえずSchelessingerの元論文(functors of artin rings)で、left exact(よりもうちょい弱い条件)⇔pro-representableと、さらにformally smoothならformal power seriesになるってやつ示した

んでabelian varietyのdeformationでまた文献探しまくって、偶然見つけたKai-wen Lanとかいう人のArithmetic compactifications of PEL-type Shimura varietiesを読んだ

smooth varietyのdeformationやって、それ使って正標数完全体上のabelian varietyのlocal moduliがWitt vecotr ringの次元^2変数のformal power series ringでpro-representされるってこと示した

文献全然見つからなくてここでめちゃくちゃ時間かかった

 

ただdeformationは証明がほんと全部自然でめっちゃ好きになった

まずsmoothnessの同値条件( \mathbb{A}^nへのetale morphismをはさめる、みたいなやつ)使って局所的にdeformationさせて、そいつらの張り合わせに使う射の、「張り合わせからずれてる度」(=1-cocyle conditionじゃない度=\xi_{\alpha\gamma}^{-1} \circ \xi_{\beta\gamma} \circ \xi_{\alpha\beta}を全部集めたやつ)が2-cocycleになるから、こいつが定める2-cohomology classをobstructionと定義して、んでこれが局所のとりかたによらないってことがすぐ示せて、これが0⇔大域でdeformationも簡単に示せる

abelian varietyの場合も、本質的にabelian varietyのdeformationはabelian schemeになるってことを示すだけで、これも (a,b) \mapsto a-bって射をdeformationさせるだけ

 

ってことでdeformationも終わってSerre-Tate示せた

んで2章9節の次の定理(supersingularに関するやつ)を示すためにまた少し調べた

結局finite locally free groupのconnected-etale exact sequenceとformal Lie groupの一般論で終わりだったんだけど、Tateのp-divisible groupsにのってるconnected p-divisible groupとformal Lie groupの圏同値が必要かと思って焦った

これ証明載ってないしめっちゃやりたくなかったからよかった

(まあ本質的にこの定理使ってるんだけど、abelian varietyのp-divisible groupの場合は必要なかった)

 

ってことで5章に戻ったんだけど、この定理よくよんだら \mathbb{Z}上でのレベル構造のrepresentability示してなくて、よく調べたら実際レベルをinvertibleにしないとrepresentされないっぽかった

特に \Gamma_0(N)はどんなNに対してもrigidじゃないっぽい(-1倍射使えばすぐ示せる)

マジでわざわざDrinfeld basis導入して長々と議論してさらにcuspのmoduli的解釈捨ててまで \mathbb{Z}上で話を進める必要性がわからなくなってきた

結局この定理はstackとしてregularityを示してる定理だってわかったから、また4章に戻ってさらにstackの言葉で議論進めた

Deligne-Mumfordも読んで、ほとんどのレベル構造に関して、レベル付き楕円曲線の圏がsmooth separated finite type Deligne-Mumford stackだってことを今示した

 

 

今後はとりあえず5章読んで、なんか6章以降もめちゃくちゃ重要そうだけど先生がみんな5章くらいまででいいって言うから、次は斎藤先生のフェルマーの最終定理の本読む

ただ \Gamma_0のrelative representabilityとregularityはさすがに必要そうだし、6章はやるかも

(こうやって~~は興味あるしやる、って言ったらマジでこの本全部やるはめになるから6章までで終わらせておく)

 

 

なんか学部浪人時代から研究者になった今もブログ続けてる人見つけてすげえ面白いなってなった

こういうの後から見返すとほんと楽しいし、俺も頻度あげてついでに数学以外のことも記録つけようかなと悩む

 

あと妖々夢のファンタズムでノーミス1ボムノー結界できそうだったのに、生と死の境界で何回動かしても赤の大玉が真下に来やがっておかげで阻止された

 

あともう数週間で2020年とかこわ

未来感はんぱねえのに車もしばらく空を走る予定もなさそうじゃん

 

あと大好きなアイドル部に悲しいことがあって数日数学が手につかなかった

身の回りの人まだ誰も死んでないしくっそ楽勝な人生送ってきたから割とマジで人生で一番つらいかもしれない

ただそのおかげで、頭なにも使わなくていい卒研のまとめが半分終わった(3時間程度でできた)

 

 

Fuはlocal acyclicityとsmooth base change認めた(と言っても今のところ使ってない)

(証明が気が遠くなるほど長い上にぱっと見じゃなにも有用性を理解できなくてやる気にならない)

そんでPoincare dualityやった

曲線の場合示してtraceとか定義して \mathbb{R}f_!のright adjoint定義して本定理のみってところまでやった

んでcylcle mapとか気になったから一旦切り上げた

エタコホは構成も証明も頭狂ってるのかってくらい長いけど、全部本当に議論が自然だから大好き

「数学の証明はかくあるべき」とまで思う

 

あと、 \mathbb{Z}/n上の環上のconstructible sheafのcompact support higher direct imageもconstructibleだって定理にsmooth base change使われてて、これ回避できそうなのを見つけたけど、なんかその証明が間違ってる気がしてならない

SGAだからそんなわけないんだろうけど・・・

先生に聞いてみるかも

ただfinite stalkならimageもfinite stalkって方はsmooth base changeなしで示せて、今のところこれだけで足りてるからまあひとまずはok

(具体的に、SGA IVのIX 2.13 iii を使って、proper base changeのときと同じような手法で曲線と \mathbb{Z}/nの場合に帰着させて、そんであとは具体的なコホモロジーの計算で終えるってやつ

一応参照:https://people.math.ethz.ch/~mmornev/et/scheiwiller2.pdf

 

 

んでFultonに戻った

自習室にあった日本語の本(代数的サイクルとエタールコホモロジー)眺めた結果pseudo-divisorいらなそうだったから全部Cartierでやるって決めたらモチベ戻った

この本くっそ簡単でどんどん進む

とりあえず長いだけで証明自体は重要じゃなさそうなCartier divisor同士のintersectionの可換性だけ認めた

そんで3章入ってSegre classとかChern class定義して基本的な命題示した

全部Cartier divisorのintersectionの性質からほぼ明らかだし量もないしほんと楽

そんで4,5章は必要性がよくわからんから飛ばして6章(closed regular immersed subのintersection)入った

(多分5章はすぐに使う場面くるけど短い章だからその時やる

4章はほんとよくわからん

日本語の本にもこの章に該当する部分はない

個人的に、regular immersionのnormal coneが持ってる性質の内、いくつかがregularの仮定必要ないから、そういうのを一応一般で示しただけなようにも思える

んでそのせいで長くなっただけで、regularの場合はこんなに議論もいらないんじゃないかって

もしそうなら必要になり次第戻って必要なところだけregularの仮定つけてやるだけのこと)

とりあえず今のところ何も問題なし

これ終わったら8章のsmooth varietyの一般のintersectionやって15章のGrothendieck Riemann Rochやる

ただ、GRRはなんか射がclosed immersionの場合とprojectionの場合にわけて証明するらしくて、そのprojectionの場合がスケッチしかのってない

いちいちスケッチだけ乗せるってことはこの本じゃ足りないくらい難しいんだろうか

 

あとは普通に面白そうだからやる気あったら7章のintersection multiplicity、8章のBezout、18章のsingularの場合のGRRもやるかも

 

 

とりあえずFulton終わったらFuに戻ってcycle map定義する

Poincare dualityもどうせだし示すかも

ただFuはself containedにするためにcycle mapを深くは扱ってないから、日本語の本読んでcycleとの関係も色々深めにやる

(基本的な可換性とかLefschetz fixed pointsとか

他にもWeil Iでも使うblowing upのコホモロジーがFuにはのってないし、そういう細かいところもこの本で潰す)

それも終わったら、もしくはどっかで並行してKatz-Mazurもやる

先生3人ともから楕円曲線はこれだけで十分だしこれが一番いいって聞いたからめちゃくちゃ気が楽になった

これも終わったら斎藤先生のFLT読むかも

FuとFulton、K-Mと斎藤先生の二つはそこまで密接にはつながってないから、どっちかばかりにかまってると片方忘れちゃいそうで怖い

並行してやるべきか

それも終わったあとは今のところ未定

学部終わるまでにある程度できたらすごい

先輩に葉巻バー連れてってもらった

将来金持ちになってこんないいもん好きな時に吸えるようになりてえな

しかもその後全国区で人気らしいバーにも連れてってもらった

めっちゃ奢ってもらってめっちゃありがてえ

 

 

研究室決めの面談で先生3人と話した

とりあえず斎藤先生を第一に書いておいたけど人気ありそうだからどうなるんだろ

「理論を認めて使い方を学ぶ」ってのはアメリカ人がいいがちで、ちゃんと理論も全部追うのにもよさがあるって言われた

個人的にはやっぱ全部追った方がすっきりするし、とりあえずエタコホの基本定理くらいは追おうと思った

 

あと、楕円曲線はMazur、Katz、Deligne-Rapoportよりも圧倒的にKatz-Mazurが重要って言われた(3人ともに)

D-Rはgeneralized elliptic curveつかってcuspにmoduli的な解釈を与えてるけど、高次元の多様体のmoduliになるとcuspにそういう解釈がなくなるから、そういう理論は必要ないと言えば必要ないって言われた

あとなにより、D-Rはレベルをinvertibleにしてるけど、これが致命的だって言われた

K-MはDrinfeld structureとかなんとか導入してZ上で話進めてるのがいいらしい

Mazurも、torision point theoremとかmodular curveそのものに興味があるならいいけど、数論の一般論的な面では必要ないって言われた

K-Mはこの中で一番読みやすいし、だいたいregularityくらいまでで十分って言われたのもでかい

 

あと先生が学生時代Weil Iを学部で読む流れみたいなのがあったって言ってた

あとIよりIIの方が証明が自然だし、理論的にも重要だって言われた

 

あとFultonのintersectionは簡単な本だって言われたから少しやる気戻った

 

ってことで今後はFuで基本定理、Weil I, II、K-M、斎藤先生のやつ(とあとFulton)を読むことにした

学部残り4か月だけど、それまでにFu、Weil I、K-Mの先生が言ってたくらいのところまで、斎藤先生のFLTある程度(楕円曲線はK-Mとかぶってるだろうし、Galois表現ある程度できたらうれしい)、FultonでG-R-Rくらいまでできたら相当自信もってよさそう

 

 

 

Fultonのintersectionは飽きた

クッソ長いけど、Grothendieck-Riemann-Rochまでなら1~6章だけで十分って気づいて割とやる気戻って、今度はpseudo divisorあたりめんどくさすぎてまた飽きた

普通にCartierだけで話進めようとしたけどなんかモチベ切れた

また気が向いたらやる

 

あと斎藤先生のFLT少し読んだ

他の楕円曲線のmoduliの本よりもかなり具体的に見えていい

でもgeneralized elliptic curve出てきて、Deligne-Rapoportで追うのがめんどくさすぎて飽きた

 

導来圏はHartshorne1章までやって、FuのEtale cohomology theoryでway outやった

spectral sequenceの上位互換ではなかったけど、spectral sequence使う議論も導来だけでできるのもあるし、多分慣れればほぼ全部導来的に示せるし、あとGrothendieck spectral sequenceも導来関手の合成とCartan-Eilenberg resolutionで一瞬で示せるからいい

(でもfiltered complexからspectral sequence作るのが死ぬほどめんどくさくてやってない)

 

そんでFuのエタコホ読み始めた

前読んでたMilneのエタコホは先生に「あの本は至る所にいい加減なことが書いてある」って言われて悲しくなった

ってことでこれの5章をさらっと復習して7章から読み始めた

今6節のlocal acyclicity入ったところ

Milneがクッソ短い証明してるのがこっちだとくっそ長かったり逆もあったりで意味不明

でも導来圏の言葉使うと色々便利

proper base changeがくっそ長くてたるかった(でもprojectiveに帰着→曲線に帰着→Z/nに帰着→曲線のconnected component、基本群、Picardを調べて終わりって流れは自然だし面白くもあった 他の論文参照になってたArtin approximationが証明死ぬほど長いからやってない)

Kunnethはprojection formula使えば3行くらいだからうれしい

compact supportのcohomological dimensionも帰納法から自然に従うのいい

あとcup productも簡単に定義できるし、Kunnethとの一致もそんなに難しくないのがいい

ここまでの定理はくっそ長くても証明が自然だからよかったけど、次にやるlocal acyclicityとsmooth base changeが死ぬほど長いから追わないかも

 

ってことでかなりきちんと追えそう

これ終わったWeil Iをちゃんとやるかも