数学

研究の記録と日記

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Hindry, SilvermanのFaltingsの定理の章まで終わった

大分めんどくさかったけど、何かためになったと信じたい

とりあえず、謎のVojta divisorのheightを上と下から抑えるとなぜか証明できるって感じだった

上は簡単で、下はdivisorのglobal sectionが定める多項式のheight(のマイナス倍)に関係する形で抑えられる

まず、点のペアを固定して、その点で消えないglobal sectionがあれば簡単に示せる

だけど多くの場合そんなsectionはないから、その多項式を消えなくなるまで微分して、その微分した回数と元の多項式のheightで関係した形で下から抑える

んで、今度は、選んだ点に関係ない小さい定数回微分すれば消えなくなるってことを示す

で最後にその多項式のheightを上から抑えて(ここが一番めんどくさかった)、これにて選んだ点とあんまり関係ない定数でheightを上下から抑えることができて、あとはちょっと計算しなおしてVojta inequality証明終了。

 

 

次やることを考えた

まず、俺が何に興味あるかがあんまりわからないから、とりあえず面白そうな結果を示してて、しかも俺が学んだ理論がうまい感じに使われてるらしい論文を読むことにした

 

ってことで、とりあえず読む目標は次の三つの論文

1. Ribet - On modular representations of  \operatorname{Gal}(\overline{\mathbb{Q}} / \mathbb{Q}) arising from modular forms.

https://math.berkeley.edu/~ribet/Articles/invent_100.pdf

2. Mazur - Modular curves and the Eisenstein ideal

http://www.numdam.org/article/PMIHES_1977__47__33_0.pdf

3. Cornell, SilvermanのFaltingsの章 (論文じゃないけど、現論文がドイツ語なのと、こっちはerattaとかもついてて読みやすそうだからこっちで)

 

でこれに必要ないくつか

4. Diamond, Shurman - A First Course in Modular Forms

5. Deligne, Rapoport - Les schemas de modules des courbes elliptiques

http://smtp.math.uni-bonn.de/ag/alggeom/preprints/Lesschemas.pdf

6. Katz - p-adic properties of modular schemes and modular forms

https://web.math.princeton.edu/~nmk/old/padicpropMFMS.pdf

7. Olsson - Algebraic Spaces and Algebraic Stacks

 

1はとりあえずなんかガロア表現がめっちゃ必要っぽいの除いて、あとは何が必要なのかよくわからん

とりあえず4くらい読んどけば行けそうに見える

2は予想外にいろんな前提必要っぽい

moduli stackとcoarse moduliと、5と6くらいのmoduliのmodular formは必要っぽい

3はとりあえずmoduli stack慣れてればいけそう

んでそのstackは多分7をさらっとやればいいかも?

moduliは存在認めるけど、他になんかの本やんないと使いこなせないかも

 

まず4読み終わったらKatzの論文読みながら、Mazurで応用例的に使って理論の勉強ついでにMazurも進める

たまにKatzよりちょっと一般的なことをDe, Raで参照してるから、そこは適宜De, Ra1で補いながらで

5と6がすでにレベル構造付きの楕円曲線のmoduli stack前提みたいな書き口だから、ここで出てきたら適宜7でstackやったり、moduliの存在は認めてそのmoduliがproperであることを示したりするつもり

大分先になりそうだけど、これでMazur終わったらそのままFaltingsでもありかも

表現論はどんな表現論がいるのか全く分からんから1読みながら漸次って感じでもいいかも

それかCornell, Silverman, Stevensの本が、ちょうどフェルマーの最終定理に必要な理論そろえる感じの本っぽいから、それでやるのもいいのかも

 

ここにあるやつは学部終わるまで、もっと言えば来年度の夏くらいまでにはやり終えたい