数学

研究の記録と日記

3年次やったこと

2年次は思い返すとすごく進んだような気がする年だったけど、3年次はなんか全く進んでないような気がしてならない

勉強時間は3年次の方が結構圧倒的に長い気もするけど

まあ論文読み始める段階に入ったってことは大きな成果だし成長のあかしだとも思っておこう

 

・Hartshorne 3章7~9節 4/1~8

前年度のHartshorne復習の続き

canonical = dualizingをようやく示せてすごくうれしかった

 

・同5章1節 4/8~16

確かHartshorneがほぼ終わったからどうせならって感じで普通に続きをやった

すごく楽しかった

 

・Liu 4章 4/17~24

Hartshorneの5章2節読もうと、とりあえずblowing upやるためにちょっと戻って、なんか知らんけどZariski main theoremやろうと思った

これが終わったあたりで、大学が始まったのとやる気がつきたので前年度から続いてた勉強時間激長フィーバータイムが終わった

 

・Diamond, Shurman

やる気のなさが見て取れる

とりあえず必須だから始めたけど、モチベのなさとあまりにも見えない応用で死んだ

 

・Bott, Tu 4/27~29

かねてよりエタコホやろうと思ってたからその準備としてやった

結構楽しかったけどモチベ尽きてたから全く続かなかった

 

・Cornell, Silverman abelian varietyの章 4/30~6/6

ずっとやりたいと言っていたabelian varietyをやった

とりあえず楽しくやれていたけど、このあたりマイクラはまってまじで5,6月合計で100時間程度しか勉強できなかった

んでdula abelian varietyが証明のってなくて、しかもMumfordの方にも代数閉体上でしか示してなかったからやる気なくなってしまった

 

・Milne 6/7~7/19

同じくやりたかったエタコホ

1章のflatとかetale morphismの章もまあまあやって、そこも普通に身になった

肝心のエタコホは能力不足ゆえに難しかったし多分ほとんど理解できなかった

 とりあえず3章まではぎりぎり及第点達してない程度の理解度とちゃんと追った度でやって、4章飛ばして、5章は難しくてほぼ全くできなかった(constructibleが理解不能だったから有限群のconstant sheafに状況を制限してやってた)

んで基本定理認めて読み物みたいなpdfでWeil予想いくつかやってみた

エタコホはあまり身になってなかった気がする

 

・Cornell, Silverman abelian varietyの章 7/20~8/28

本当に一応エタコホが一段落ついたからこっち戻った

忘れてたからシーソーあたりから復習して、dualは存在認めてやった

Endの章でギャップ見つけてSilvermanの楕円曲線の本とかMumfordとか見て、結局代数多様体を有限群とか有限群スキームで割る定理とかやって、結果的にほぼdualの存在もなんとなくわかった

んでMumfordでRiemann-Rochとかもやった

ここは結構捗った

 

・Cornell, Silverman Jacobianの章 8/28~9/19

構成もきちんとやるつもりなかったし、そもそも普通に難しくて追えなかったの多い

いまだに追えてないのもひとつある

ほぼ身になってない気がする

 

・Hindry, Silverman chapterA~E 9/20~10/31

1章の代数幾何のreviewがめちゃくちゃテキトーで笑った

Neron modelとか割と慣れられた気がする

Roth関係の定理が証明めんどくさすぎるししかも超初等的だからやる意味が全然わからんかった

Faltingsの定理示せたのもうれしかったし、なんか為になったと思いたい

 

・Diamond, Shurman 4章以外 11/1~12/6

このあたりはずっとmoduli上のmodular formをやらなきゃいけない気がしてた

Katzのp-adic properties of modular schemes and modular forms読むためにはじめた

特に言うことなし

まあまあ楽しかったけどまだ使う場面ない

 

・Cornell, Silverman, Stevens 12/7~12/14

D, Sの途中でちょっとKatz読んだりしたけど難しすぎるし応用遠すぎてモチベ続かなかったからとりあえずこれを読み始めた

この辺から論文読もうとしてて、Ribetとか読みたかったけど元論文は知らない理論多すぎたからこの本を手引きにしようと思ってた

でも難しすぎてほんと速攻で死んだ

1、2年のときに代数幾何に抱いていた恐怖感と絶望感をより深く濃くしたものを感じる

この量の理論追えるやついるの?

modular curveうまく認められたとしても、慣れないGalois表現の話とかmodular curveそのものとか、一見なんの意味もなさそうな死ぬほど抽象的なものを300ページにわたって延々と続けられてるからモチベ全くわかない

 

・Lichtenbaum - Curves over DVR 12/16~12/27

とりあえずCSSで死んだから、CSS一章で引用されてた楕円曲線の定理くらい追うかって気持ちでSilvemanの2冊目開いたら、結構数論曲面の定理がこの論文から参照されてたからこれやることにした

まあまあ難しいところもあったけど正直大した苦労もなく終わった

 

・Silverman - Advanced Topics in AEC 12/28~1/11 4,5章

当初の予定通りこれ始めた

楽しかったけど正直Tate algorithm難しくてわからんかった

まあただNeron modelはほんと大分慣れた気がするから為になった

あと数論曲面もきちんと追ったしそこも身になった

5章のTate curveも大分よかった

 

・Serre - Local Fields 1/12~30

なにやりたいか少しわからなくなってたからとりあえずCSSで使われてる理論ひとつづつ埋めていくかって感じで群コホ始めた

とりあえずNeukirchの3章でramificationとかdifferentialちょっと復習してから始めた

正直あんまり言うことない

全部追えたし、群コホとかいう一番簡単で具体的なものを通じてderived functorそのものにも前より親しみを覚えられた気もする

大域類体論もArtin, TateとかCassels, Frohlichとかでやろうと思ったけどめんどいしそこまではまだ使う機会ないからやめた

 

・Tate - Endomorphisms of Abelian Varieties over Finite Fields 1/31~2/5

ようやく興味のある結果を示してる論文を読むという勉強法に移った(と思う)

有限体上のTate conjecture

最終的にFaltingsの定理の最初の証明も理解したかったから、Tate conjectureをいろんな場合でやっていこうと思ってる

ここまでくるとそろそろ数学初心者は脱しつつあるんじゃないかと感じる

めっちゃ難しかったけどやりがいあって俺も必死で頑張れば追えるくらいのぎりぎりだったからすごく楽しかった

(Mumfordの付録がなかったら絶対ギャップ埋めきれなかったのは内緒な)

あと証明法もやばくて超笑えた

可換代数の理論もちょっと追ったりしてページ数の割には時間かかった

冷静に考えて、End環が非可換なんだから非可換代数も超重要だな

ようやく非可換の重要性を理解してきた

 

・Deligne - La conjecture de Weil I 2/6~10

次はWeil conjecture

エタコホの基本定理を認めて、以前やったよりはきちんとWeil conjectureを追おうと思った

あと前回やってないRieman予想とかそういうのも

全7章あるなか、4,6,7以外全部既存の理論のまとめなの見るに、俺がよく参考にしてるコメント通り、やっぱり理論は追うことよりも認めて使えることの方が重要だとわかる

 

・Milne - etale cohomology 2,3,5章 2/11~20

基本定理認めるにしろ、さすがにもうちょっとエタコホ慣れてないときつそうだったから復習

やっぱり数学って間をあけるだけでも理解できるようになってる

ものすごくすらすらいったし、なんならHartshorneでsheafとかコホモロジーやったときよりも、圏論的にsophisticatedされた書き口からより深く本質的に理解できてる気すらする

あと5章のconstructible sheafも定義理解できたし(sheafは必ずalgebraic spaceでrepresentされる、とかの定理は認めた)

あとalgebraic spaceに足突っ込めた結果か、なんかstackに対する恐怖心がなくなって、今後Deligne, Mumfordとかでstack勉強できる気がしてきた

 

・Deligne - La conjecture de Weil I 2/21~3/11

Galoisの作用とかcompact supportのエタコホの間の射とかをちゃんと定義できた

4,5,6節のLefschetz pencilは意味不明で全部認めたけど、そこ以外は結構満足できる理解度でやれたと思ってる

特に3節のmain lemmaの証明がきれいすぎて感動した

大分エタコホを使えるようになった気がする

 

・Mumford - Geometric incariant theory 3/12~3/19

下のDe, Muを読むために読み始めた

De, Muと対応する定理が一見同値に見えなかったから、それを示すためにほぼすべての期間使った

あとは、quotientの存在を認めればmoduliの存在をほぼ自明レベルってのも理解出来てよかった

 

・Deligne, Mumford - The irreducibility of the space of curves of geven genus 3/20~

今やってるところ

まだ1章だけどむずい

正直stable reductionを追える気が今のところあまりしてこないから少しモチベ下がり気味

あとstackもできる気があまりしない

エタコホはこいつにも結構出てくるし、やっぱ数論幾何ならどの分野にも必須なんだなと感じ始めたけど、moduliはまだあまりどう使うかわかっていないからってのもある

Faltingsの定理とか、よくわからんけど最重要らしいmodular curveとか、この辺はもろにmoduliを調べる理論っぽいからstackは必須だけど

 

 

って感じで、やっぱり去年度はあまり進んだ気がしない一年であったとさ