数学

研究の記録と日記

なんか学部浪人時代から研究者になった今もブログ続けてる人見つけてすげえ面白いなってなった

こういうの後から見返すとほんと楽しいし、俺も頻度あげてついでに数学以外のことも記録つけようかなと悩む

 

あと妖々夢のファンタズムでノーミス1ボムノー結界できそうだったのに、生と死の境界で何回動かしても赤の大玉が真下に来やがっておかげで阻止された

 

あともう数週間で2020年とかこわ

未来感はんぱねえのに車もしばらく空を走る予定もなさそうじゃん

 

あと大好きなアイドル部に悲しいことがあって数日数学が手につかなかった

身の回りの人まだ誰も死んでないしくっそ楽勝な人生送ってきたから割とマジで人生で一番つらいかもしれない

ただそのおかげで、頭なにも使わなくていい卒研のまとめが半分終わった(3時間程度でできた)

 

 

Fuはlocal acyclicityとsmooth base change認めた(と言っても今のところ使ってない)

(証明が気が遠くなるほど長い上にぱっと見じゃなにも有用性を理解できなくてやる気にならない)

そんでPoincare dualityやった

曲線の場合示してtraceとか定義して \mathbb{R}f_!のright adjoint定義して本定理のみってところまでやった

んでcylcle mapとか気になったから一旦切り上げた

エタコホは構成も証明も頭狂ってるのかってくらい長いけど、全部本当に議論が自然だから大好き

「数学の証明はかくあるべき」とまで思う

 

あと、 \mathbb{Z}/n上の環上のconstructible sheafのcompact support higher direct imageもconstructibleだって定理にsmooth base change使われてて、これ回避できそうなのを見つけたけど、なんかその証明が間違ってる気がしてならない

SGAだからそんなわけないんだろうけど・・・

先生に聞いてみるかも

ただfinite stalkならimageもfinite stalkって方はsmooth base changeなしで示せて、今のところこれだけで足りてるからまあひとまずはok

(具体的に、SGA IVのIX 2.13 iii を使って、proper base changeのときと同じような手法で曲線と \mathbb{Z}/nの場合に帰着させて、そんであとは具体的なコホモロジーの計算で終えるってやつ

一応参照:https://people.math.ethz.ch/~mmornev/et/scheiwiller2.pdf

 

 

んでFultonに戻った

自習室にあった日本語の本(代数的サイクルとエタールコホモロジー)眺めた結果pseudo-divisorいらなそうだったから全部Cartierでやるって決めたらモチベ戻った

この本くっそ簡単でどんどん進む

とりあえず長いだけで証明自体は重要じゃなさそうなCartier divisor同士のintersectionの可換性だけ認めた

そんで3章入ってSegre classとかChern class定義して基本的な命題示した

全部Cartier divisorのintersectionの性質からほぼ明らかだし量もないしほんと楽

そんで4,5章は必要性がよくわからんから飛ばして6章(closed regular immersed subのintersection)入った

(多分5章はすぐに使う場面くるけど短い章だからその時やる

4章はほんとよくわからん

日本語の本にもこの章に該当する部分はない

個人的に、regular immersionのnormal coneが持ってる性質の内、いくつかがregularの仮定必要ないから、そういうのを一応一般で示しただけなようにも思える

んでそのせいで長くなっただけで、regularの場合はこんなに議論もいらないんじゃないかって

もしそうなら必要になり次第戻って必要なところだけregularの仮定つけてやるだけのこと)

とりあえず今のところ何も問題なし

これ終わったら8章のsmooth varietyの一般のintersectionやって15章のGrothendieck Riemann Rochやる

ただ、GRRはなんか射がclosed immersionの場合とprojectionの場合にわけて証明するらしくて、そのprojectionの場合がスケッチしかのってない

いちいちスケッチだけ乗せるってことはこの本じゃ足りないくらい難しいんだろうか

 

あとは普通に面白そうだからやる気あったら7章のintersection multiplicity、8章のBezout、18章のsingularの場合のGRRもやるかも

 

 

とりあえずFulton終わったらFuに戻ってcycle map定義する

Poincare dualityもどうせだし示すかも

ただFuはself containedにするためにcycle mapを深くは扱ってないから、日本語の本読んでcycleとの関係も色々深めにやる

(基本的な可換性とかLefschetz fixed pointsとか

他にもWeil Iでも使うblowing upのコホモロジーがFuにはのってないし、そういう細かいところもこの本で潰す)

それも終わったら、もしくはどっかで並行してKatz-Mazurもやる

先生3人ともから楕円曲線はこれだけで十分だしこれが一番いいって聞いたからめちゃくちゃ気が楽になった

これも終わったら斎藤先生のFLT読むかも

FuとFulton、K-Mと斎藤先生の二つはそこまで密接にはつながってないから、どっちかばかりにかまってると片方忘れちゃいそうで怖い

並行してやるべきか

それも終わったあとは今のところ未定

学部終わるまでにある程度できたらすごい