数学

研究の記録と日記

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妖々夢ファンタズムをノーミス3ボムノー結界で11.7億とれた

多分今の俺程度のプレイ時間じゃ12億以上は無理

毎日1時間とかやらないとこれ以上うまくはならなさそう

 

指導教員が第一志望の人に決まった

でも卒業できるか不安すぎて数学が手につかない

最後にとったカス授業が、去年までは発表した人全員に単位でてたっぽいけど、今年から先生変わったから安心できない

俺ら発表ちゃんとやってなくて先生に怒られたから怖い

卒業できなかったら吐く自信ある

 

 

Fultonは確かGRRの章入って、本に書いてなかったprojectionの場合を示して、本に書いてあったclosed immersionの場合がめんどくさくてやめた

projectionの場合はGrothendieck groupの基本的な一般論をちょっと進めればすぐできるって感じで、多分本に書いてなかったのは普通に紙面のスペースの都合

tangentのtop chernの積分=エタコホのeuler characteristicを示したかったけど、先生に聞いても全然文献見つからないからまだできてない

 

んでKatz-Mazurに戻った

普通に1章から読み返した

1章は7節まで読んで2章入った

(1章8節以降は使い道マジでわからん。たまに引用されてるけど、どの定理も自明な主張しかしてないからマジで必要ない)

Grothendieck dualityは出会う度に毎回「この場合に限れば簡単に示せないか」ってめっちゃ悩んで結局無理で時間を無駄にするから嫌い

認めた

でformal completionも(多分)ちゃんとやって、rigidityはなんかよくわからん制限ついてて謎だったからMumfordのGITでやった

(これ使うと3節あたりの内容ほとんど必要なくなるし一般次元だし、なんでK-Mはこっち使ってないのか謎。多分formal parameter使って直感的に議論したかったんかと予想)

でmoduliの例と最終節のdeformationは飛ばした

3章は特に問題なし

4章も7節までやった

4.7.0はめっちゃ時間かかったけど

あと4章はできるだけstackの言葉に戻しながらやった

この本、stack使ってないくせに、stackの言い回しとか多用してるし、stack知らないと意味わからない議論を一切言及せず使ってたりしてる

んで4.7.0示すついでに、BLRのNeron modelsで一般の群のfree actionのquotient示した

ずっと悩んでたやつだけど、BLRの定理ひとつ読めば全部終わった

大分すっきり

 

ここらへんでいったんFuに戻ったけど、なんかすぐ飽きてまたK-Mに戻った

 

んで5章入って、まずは証明中使われてる2章9節のSerre-Tate theoremを示すため2章に戻った

KatzのSerre-Tate local moduliって論文で証明追った

一か所abelian varietyのdeformation(というか、abelian varietyのlocal moduliのformally smoothness)が使われてたからめっちゃ文献探した

ついでに、公理Reg4になんかよくわからんdeformationの言葉が使われてたからそっちもめっちゃ探した

色々探しまくって、結局とりあえずSchelessingerの元論文(functors of artin rings)で、left exact(よりもうちょい弱い条件)⇔pro-representableと、さらにformally smoothならformal power seriesになるってやつ示した

んでabelian varietyのdeformationでまた文献探しまくって、偶然見つけたKai-wen Lanとかいう人のArithmetic compactifications of PEL-type Shimura varietiesを読んだ

smooth varietyのdeformationやって、それ使って正標数完全体上のabelian varietyのlocal moduliがWitt vecotr ringの次元^2変数のformal power series ringでpro-representされるってこと示した

文献全然見つからなくてここでめちゃくちゃ時間かかった

 

ただdeformationは証明がほんと全部自然でめっちゃ好きになった

まずsmoothnessの同値条件( \mathbb{A}^nへのetale morphismをはさめる、みたいなやつ)使って局所的にdeformationさせて、そいつらの張り合わせに使う射の、「張り合わせからずれてる度」(=1-cocyle conditionじゃない度=\xi_{\alpha\gamma}^{-1} \circ \xi_{\beta\gamma} \circ \xi_{\alpha\beta}を全部集めたやつ)が2-cocycleになるから、こいつが定める2-cohomology classをobstructionと定義して、んでこれが局所のとりかたによらないってことがすぐ示せて、これが0⇔大域でdeformationも簡単に示せる

abelian varietyの場合も、本質的にabelian varietyのdeformationはabelian schemeになるってことを示すだけで、これも (a,b) \mapsto a-bって射をdeformationさせるだけ

 

ってことでdeformationも終わってSerre-Tate示せた

んで2章9節の次の定理(supersingularに関するやつ)を示すためにまた少し調べた

結局finite locally free groupのconnected-etale exact sequenceとformal Lie groupの一般論で終わりだったんだけど、Tateのp-divisible groupsにのってるconnected p-divisible groupとformal Lie groupの圏同値が必要かと思って焦った

これ証明載ってないしめっちゃやりたくなかったからよかった

(まあ本質的にこの定理使ってるんだけど、abelian varietyのp-divisible groupの場合は必要なかった)

 

ってことで5章に戻ったんだけど、この定理よくよんだら \mathbb{Z}上でのレベル構造のrepresentability示してなくて、よく調べたら実際レベルをinvertibleにしないとrepresentされないっぽかった

特に \Gamma_0(N)はどんなNに対してもrigidじゃないっぽい(-1倍射使えばすぐ示せる)

マジでわざわざDrinfeld basis導入して長々と議論してさらにcuspのmoduli的解釈捨ててまで \mathbb{Z}上で話を進める必要性がわからなくなってきた

結局この定理はstackとしてregularityを示してる定理だってわかったから、また4章に戻ってさらにstackの言葉で議論進めた

Deligne-Mumfordも読んで、ほとんどのレベル構造に関して、レベル付き楕円曲線の圏がsmooth separated finite type Deligne-Mumford stackだってことを今示した

 

 

今後はとりあえず5章読んで、なんか6章以降もめちゃくちゃ重要そうだけど先生がみんな5章くらいまででいいって言うから、次は斎藤先生のフェルマーの最終定理の本読む

ただ \Gamma_0のrelative representabilityとregularityはさすがに必要そうだし、6章はやるかも

(こうやって~~は興味あるしやる、って言ったらマジでこの本全部やるはめになるから6章までで終わらせておく)