数学

研究の記録と日記

5月中旬までゼミの勉強しかできなかった

ゼミは3章のガロア表現入ってから証明を8章以降に飛ばしたりそもそも証明がなかったりのやつめちゃくちゃ増えてやる気なくなった

ほとんど証明追うだけになって、逆にそのおかげで自分の勉強するようになった

そんで5章真ん中くらいまでいって、これ先生に言ったら一旦中断して8章やることになった

 

そんでFuのAlgebraic geometryに戻って、三日くらいかけてGrothendieck existence示して、あとFGA explainedも読んでalgebraizationも示した

 

そんでKatz-Mazur戻って5章終わらせた

記録見返すとここで2週間くらいかかってるけど、こんな長かったっけ

松村12章以降のJ-2 ringとかN-2 ringとかexcellentとかよくわからんけど、そこら辺の環論の定理二つくらい認めた

ちらっと見てみた感じ、せいぜい数十ページ程度だったし、わりと独立してて楽そうだったからいつか松村12,13,14あたり読むかも

 

んで6月入る直前くらいにDelgine-Rapoportに戻った

とりあえず2章はあれ以降もう触れてない

2章はEGAのわけわからん定理参照しまくっててうざいし、本質は3章以降だし、さらにだからなのか2章は他のところより証明が雑な気がしてとにかくむずい

 

んでDeligne-Mumfordも参照しながら3章の定理1.2をほぼ完全に示し切った

曲線+足し算のdeformationのpro-representabilityを最初に示してたけど、これ文献ないし、Schelessingerの例3.7もこの場合に修正できなくてわからんかった

んでgeometric fibreが既約の場合は曲線+sectionのdeformationと同型になるけど、この曲線+sectionのdeformationのtangentとかobstructionに関する文献もなくてわからんかった

けど、Schlessingerの例3.7は全部曲線+sectionにも適用できるから、このfunctorのobstructionとinfinitisimal automorphismを調べれば十分ってことになって、それも曲線のdeformationとtangentが同型になることと、sectionがsmooth locusにいるからformally smoothnessよりsectionも自動的にdeformすることから、結局ほとんど曲線のdeformationと同じ扱いができるってことを自分で示せた

しかも一般の場合も全部既約の場合に帰着できるから、結局俺がわからなかった曲線+足し算のdeformationの議論は全部回避できた

最後に、universal deformationの局所環の情報とsingular locusが0次元のl.c.i.のobstructionが \operatorname{Ext}^2にいるってことがわからん

局所環の方はDeligne-Mumfordにのってるけど、81ページの議論が文献もなくて理解しきれん

obstructionの方は、obstructionが H^p(\mathscr{E}xt^{2-p})にいることは普通に一般論だから、今の場合 H^2(\mathscr{E}xt^0)だけが大事ってとこまではわかる

この二つは普通にdeformationの一般論だし、結局曲線だとこいつ消えるからとりあえずD-Rの1.2は完成

いずれやる

 

んでArtin criterion使ってgeneralized elliptic curveのstackがDeligne-Mumford stackになるって定理入ったから、このためにLaumon-Moret-Baillyでstackの一般論やろうとしたけど、そもそもD-MとD-RとこのLMBで全部algebraic stackの定義が違うから意味不明

D-Mは普通にschemeの圏上のほぼschemeなstack、D-Rはschemeの圏上のほぼalbebraic spaceなstack、LMBはわけわからんことにaffine schemeの圏上のほぼalgebraic spaceなstackとして定義してる

同値になるかもわからんしやる気そがれたから、細かいところは気にせずD-Rやると思う

D-Rの記述(algebraic spaceのことを自己同型をもたないDeligne-Mumford stackって言ってる)みるに、多分coveringとdiagonalに関して、schemeかalgebraic spaceかって違いは無視できる(かもしくは同値)っぽいからやっぱりあんまり気にしなくていいと思う

もしくはalgebraic spaceの定義の違い

schemeの圏かaffineの圏かの違いはなんか張り合わせ使って完全に無視できそう

ちゃんというと、LMBのalgebraic stackの圏とD-Rのalgebraic stackの圏は同値かもしれない)

とにかく、細かい理論やったあとから修正するのも簡単だしとりあえずは深く気にしないことにする

algebraic spaceもDM stackも、個人的にはD-Mの定義が一番わかりやすくて好きだから全部それと同値になってくれればありがたい

Artin criterionはもちろん認める

algebraization of formal moduli Iの該当部分だけならわりと短いけど、このためにさらにArtinの近似定理みたいなやつとか使いまくっててやる気にならない

 

ようやく本質的な部分に入れた