数学

研究の記録と日記

a

なんか来年も大学始まらないみたい

マジでこれとんでもない機会損失だろ

小中学校は対面でやらないとだと思うけど、さすがに高校よりは大学院の方が対面でやる必要あるだろ(就活的な面も結構重要だし、何より研究ね)

確かに高校生より色々な地域から多くの人が集まって感染リスクがどうこうってのもわかるけどね

それならそれでなんらかの補填をだな…

新しい環境で友達新しく作るのかなり好きだから正直ここまでくると本気で気が滅入るわ

んでこうなるとほんとに博士行って就活も研究も3年間延長するってのマジで最適解なんじゃないのこれ

 

 

Mazur3章は重要なEisenstein quotientのrational pointsの有限性とかをやらずにtorsion points theoremを示した

(意外と難しくてめんどくさくなってやめてしまった。あと1節の4もわからんかった

まあ細かいところだしいずれ埋める)

 

そんで色々torsion pointsに関する論文読んでる

今後は今までと違って短期間で論文何本か読んでいくから記録のしかた少し変える

論文名とかかくから検索にひっかからないようにしてみた

なんかできてない気がするんだけどできてんのかなこれ

 

Kamienny, S, Torsion points on elliptic curves and q-coefficients of modular forms 2/1-9

とりあえず二次体のtorsionの基礎だと思って読んだ

一般の次数d代数体に関しても、Hecke algebra  \mathbb{T}のEisenstein quotientの中でHecke operator  T_1, \dots, T_dが線形独立ならば、という条件のもとで全く同じ定理が成り立つってことも自分でやってみた

(ただ多分これが実質的な壁だからほぼ d=2以外の場合はこの方法では何もわからないと思う)

あとこの論文hyperellipticでない場合に限ってるけどこの仮定いらないねこれ

 

Sarma, N, Saikia, A, Torsion points of elliptic curves over imaginary quadratic fields of class number 1 2/10-12

Kenku, Momoseは自分たちの論文大量に引用しててくっそめんどくて読む気なかったから固定した二次体上のtorsionに関する論文読んだ

Kamienny, Najmanの \mathbb{Q}(\sqrt{-1}), \mathbb{Q}(\sqrt{-3})上のやつよりもうちょい一般に調べてたからこっち読めば十分かと思ってこれにした

でも正直この論文マジで”アレ”

下の論文がもう示したことをなぜか全く同じ手法でやってる

なんで?

ってことで、この手法明らかにもっと一般化できるだろと思って下の論文の存在を知らないまま数日自分でMAGMA使って計算してしまってた

その期間は下の論文の勉強期間ってことにしとこ

 

Kamienny, S, Najman, F, Torsion groups of elliptic curves over quadratic fields 2/13-16

modular curveのexplicitな式使ってMAGMAでrankとか計算してる

手法はめっちゃ簡単だけど結構色んなことがわかって楽しい

 

Menezes, et al., hyperellipticのやつ 2/17-19

genus 2の場合になんかdivisorのMumford representaionとかいうの出てきたから読んだ

でもこれいらんわ

あとついでにこの本schemeも使ってないし、なぜかsingularなmodelをそのまま使っててよくわからない

 

Laska, M, Lorenz, M, exponent 2の拡大のやつ 2/20-22

abelian varietyのtwistとrankの計算だけやった

やる気なくて時間かかっちゃった

でもなかなか強くて好き

その後の主結果も普通に面白そうだからいつかやるかも

 

Ogg, A. P., rational points on certain elliptic modular curves 2/23-

13, 16, 18 torsionの計算のために読んでる

実質読み終わったけど、cuspのOgg's notationとそのmoduli的な解釈の間の対応がわかんなくなってそこ保留中

(そのせいで16と18が計算できなくて困ってる

ただ手法はわかったから大きな問題ではない)

moduliの解析的解釈と代数的解釈ってこれほとんどの人が結構雑にやってるよね、これ

基本的なupper half planeのやつもmath overflowで質問して結構的外れな答え帰ってきてばっかだったし

まあ使えれば問題ないしね、俺もここで示したら多分数年後には忘れてそう

 

 

以上

 

次はKamienny, Najmanのgenus 2のとき示す

 

その後はMerelでuniformly boundやるとか?

これMazur2章ばりばり使っててムズそうだしフランス語なのほんとうざいからちょっとやる気ない

SutherlandのTorsion subgroups of elliptic curves over number fieldsって論文(?)読んで2以上の次数の場合色々調べていくとか?

あとは、今は研究に手つけるのが優先だろうからやらないかもしれないけど、

reference request - Introductory text on Galois representations - MathOverflow

のbest answerにある通りにGalois representationやってみるとかね

Galois representationなんて数論全部に必須だろうし、フェルマーの最終定理やりたいんだったら特に一番重要だし