数学

研究の記録と日記

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ワクチンの接種がようやく始まったからもしかしたら来期から人くるんじゃないかなーって期待してる

今月中盤くらいに数理のslackで聞いてみて人多そうなら引っ越そうかな

 

数学は前回以降何も進んでない

 \mathbb{F}_1-schemeの話は別におもろくなかった

確かにRiemann予想まで見えてるけどまだそこにつなげるにはあまりにも発展途上だし、それ以外おもしろいポイントも見つからなかった

 

前回書いた論文は先生に送ったけど1か月くらい返事がない

簡単なところの修正は来たけど

 

前回rankが0になるやつ全部特定したから、それ使って \mathbb{Q}(\zeta_5)上の楕円曲線のtorsion全部特定しようと思って、ほぼ終わったからさて論文書くかって時になんとなく他の人の論文読んでたら全部そこに書かれてて激萎えして以来マジでモチベなくなった

1か月くらいほぼ何もしてなかったけど最近ようやく多少回復してきて、今度はSerreとかから始まった楕円曲線のp進ガロア表現の像( G_\mathbb{Q} \to \operatorname{GL}_2 \mathbb{F}_pの像)の可能性全部特定するやつとか、それ使って \mathbb{Q}上の楕円曲線のp-torsionの定義体の拡大次数とか色々全特定する論文読みはじめた

ここらへんちょっと話変わるけど色々調べられててそれなりにおもろい

 

おわり

 

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タバコ吸いにコンビニ行くのと週に1,2回マックにドライブスルー行くのと月に1,2回友達と漫画喫茶いく以外でマジで外に一歩も出てないから数学以外書くことがない

今学期のゼミは来週で最後だから今回くらいは大学行こうかなと思ってるけど

あとタバコで思い出したけど、なんか俺コンビニでぽっけからもの取り出してしまう時に結構な頻度で落としてるっぽい

携帯灰皿とまだ半分くらい残ってるタバコをなくして不思議に思ってたんだけど今日気付いたわ

普段何も考えてないからだろうな、これ

 

研究集会があるたびに先生に「出てみましたか?」って聞かれて、毎度めんどくさくて出席してないから気まずい思いしながら「あ!忘れてました!」とか白々しくいってて、それが嫌だから今回重い腰をあげて(zoomにつなぐだけなんだけど)出席してみたんだけど、なんか \mathbb{F}_1 schemeの講演がなかなか面白かった

Riemann zetaにもつながる可能性あるとかいう応用の面白さが全数学界上位7位に入る対象なのと、ここ10~20年程度に色々わかってきたっぽいそれなりに新しい分野なのがいい

今やってることとちょっと毛色変わるけどこっちにも手を出してみようかな

 

 

以下研究の日記

 

とりあえず、前回までに示した結果をhyperellipticとは限らないmodular curveに関しても手法変えてだいたい示して発表したら論文にまとめましょうって言われた

hyperellipticの場合とそうでない場合に必要な理論結構変わってくるから、とりあえず2つにわけて書くことにした

といっても2つ目はまだ全部はわかってないから保留

1つ目はちゃちゃっと書いて先生に見てもらって、細かい文法とか論文のマナー的なもの数か所指摘してもらって、くっそめんどうになっちゃって2週間くらい放置して今修正した

文法直しは論文では省略形使うなってのと誤字とこれは口語だから使うなってのくらいだったのがちょっと驚いた

(ってか5年以上も英語ばっか読んできて文法間違いだらけだったら相当問題)

 

この2つ目に関して、数学に心底がっかりするような悲しい結果を示してしまったのが辛い

「いやそのくらい一致しててくれよ…」って感じ

素数くらいに制限するとまだ反例見つけてないから頭の中にとどめておく

 

他にも \mathbb{Q}上とは限らない結構一般のある種のmodular curveのjacobianのrankが0になるやつ全部特定したり、1つ目で示した、楕円曲線のある種のtorsion pointの存在と、対応するmodular Jacobianのrankとの関係に関する主張を、2つ目で扱った場合に拡張したりした

 

とりあえず代数体の拡大 L/Kとmodular abelian varietyに関して A(L)/A(K)がどんな風にふるまうのか知りたい

これわかると上のtorsionとrankの関係ももっと詳しいことがわかるし、Mordell-Weil sieveもうまく使えてrational pointももっと一般に調べられる

見たことないけどこの手の研究ってされてんのかな

mathoverflowで質問してみよう

 

あと、Sagemathをある程度使えるようになったからMAGMAの2分制限にそこまで悩むことがなくなったんだけど、こいつMAGMAと違ってなんか曲線のdivisorに関する関数備えてないらしくて、そのせいでJacobianとか計算するときに結局また2分制限にひっかかる

 

ってことでなんだかんだ短いスパンでいくつか示してきたけど、俺が今まで調べてきたことって全部先人の完全パクリだからまだ自分で数学を研究しているという実感が皆無

つってもまあ誰も初めはそうなんだろうし、むしろそうでないかなりオリジナルな研究結果を出せるのは数学者の中でもほんの一握りだろうし、あんまり気に病む必要はないのかもね

このくらいの結果をコンスタントに出せればまあ博士とるくらいのことはできるんじゃない、知らんけど

 

 

以上

 

 

 

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過去のブログちょっと見てたけど、そう思うともうiPad買ってから半年以上紙に文字を書いてない

 

ブログかいてなかった理由は、今まで通りめんどかったってのもあるけど、前回ブログに書いたあたりから教科書がんばって読んでくスタイルから論文たくさん読んで研究してくってスタイルに変わって、ブログに勉強内容を記録する必要なくなったと感じたから

ただ記録癖と長いこと続けてきた習慣やめるのもったいない病があるからブログは続ける

なにやったかを、読んだ論文ごととかじゃないふうに記録していこうかな

勉強記録と言うより日記の方が近いかもしれない

 

 

今学期2回だけ大学行ったわ

人がゼミの同級生しかいねえから行く意味がそれなりに希薄かもしれない

ただ大好きなピノちゃんの水族館コラボいけてうれしかった

 

出先でバー行って一人でタバコたくさん吸いながら数杯だけ酒飲むのが好きなんだけど、さすがにこのご時勢では行きづらい

嘘、ほんとは単に早朝から夕方まで起きた後にバー行くほどの元気がないってだけ

 

あと本当に大好きなvtuberが3人も引退してほんとにきつかった

ってか普通に今もきつい

 

学振は出した

前回の記事以降なんか結構いい結果(と自分では思ってる)を出せて、その後も研究テーマたくさん見つかったから学振は何の苦労もなくかけた

色々検索してみると、50稿くらい推敲したとか、友達同士でだめだししまくったとか、先生に何回も書き直し食らったとか出てきたけど、俺2,3回のくっそこまかい誤字なおしくらいしかしてないし、知り合いがゼミの同級生一人しかいない(大学ほぼ行けてないから当然)からダメ出し合いもほぼしてないし、先生からも一回でOKもらったしで、こんなんでいいのか感が強い

いい感じにかけたから無根拠にうかるんじゃねって思ってるけど、こういう事情鑑みたり、論文一本もかけてないこと考えると普通になんも楽観視できないよな

 

正直学振はかなりほしい

もらえれば博士以降への強い自信にもなるし、地元の友達が例外なく全員働いてる中自分だけ無給のニートみてえな学生って事態も防げる

 

社会でのステータス的な世間体をすごく気にする性格だから、正直俺だけニートなの辛い

博士とか世間じゃどうせただのモラトリアムゆとりさとり無気力ニートやろ

少なくとも俺が育ってきた小中高全部地元の公立みたいな環境ではそうだろこれ

もう同窓会いけないねえ

 

もう平均レベルの企業への就職は不可能だと思うし、そもそも可能な時期からも就職してなかったけど、やっぱり博士より親とか先生に決めてもらったてきとーな大企業に就活ほぼなしで入って同じ学歴の人達の中で平均くらいの給料をもらってそのままレールの敷かれた人生をおくりたいわ

「レールの敷かれた人生なんて!!」みたいな人、アニメ、漫画、ドラマ、映画って腐るほど、ってかその反対を標榜する作品なんか見たことがないけど、レールの敷かれた人生最高だろ

将来は電車になりたいっていうちっちゃい男の子の気持ちがよくわかる

やらない後悔よりやった後悔みたい言ってるやつは絶対に1mmも理解できん

高校も家から一番近いとこに何もかんがえず入って、大学も名古屋近辺だからと何も考えず名大に入って(まあ何もかんがえてなさすぎてちょっと色々あったけど)、修士も数論の先生いないから他大って前提の中でとりあえず東大いっときゃいいでしょって感じで決めて、いままで何も決断も挫折もしてこなかったからな、俺

そらこうなるか

 

 

ってことで以降数学の記録

 

なんか代数体上の楕円曲線のtorsionに関してなかなかいい結果を出せたつもりで、先生の反応も全然悪くなかったんだけど、これで論文書きましょうみたいなこと言われなかったの気になる

論文ってどのタイミングでかくんだ?

結果だけじゃなくて理論にもオリジナルな部分があった方が望ましいみたいなこといってたし、そういう面で見ると俺の結果はただの先行研究の一般化に過ぎないから確かに論文にかくほどのことでもないのかも

まあでもこの時期に10ページ以上かけるくらいの結果(?)もってれば修士論文程度はもう安泰っしょ

 

ついでに他にも研究テーマたくさん見つかってうれしいし、どれもそれなりにまだ試してないアプローチがある

なんだかんだいって数学のモチベ高まってきてるんだよね

 

ついでに、前回の記事以降、Merelはめんどい行列とかの議論になって飽きたけど、Chabauty-Coleman周りとかJacobianのrankとかの論文もちょくちょく読んで、知識高まってきそっちでもモチベ回復傾向

んで、RibetのLevel loweringとかの最重要ポイント認めたうえで、generalized Fermat's equationあたりの論文もある程度読んだ

 

あと、毎週の論文発表で先生から「こういう問題考えてみるのはどうですか?」みたいに研究のアドバイスをもらうことがわりとあるけど、そのたびにやっぱ自分はまだ研究のキャリア(?)の1歩目にたったばっかなんだなって思うな

そういう「数学勉強してる学生」としてではなく、「研究してる人」としての考え方をちゃんと意識していきたい

 

ついでについ先週あたりの話なんだけど、MAGMAだけじゃなくSagaバリバリに必要になった

Sageのコードたくさんダウンロードしてインポートして実行する方法調べてたんだけど、どれもPythonそれなりに使える前提みたいな説明しかなくて本気でぶちぎれてた

Pythonを1から勉強すればいいんだけど、さすがにそんなことしてる暇は全くないので必要なことだけ説明してるサイトないかめっちゃイライラしながら探してた

一応なんとかくっそ汚いコードではあるけど実行できた

もうちょいきれいにできないか調べるつもり

 

自分がこんな苦労したんだから他の人にも苦労してほしい(俺が優越感に浸れるので)けど、数論幾何勉強してるおじいちゃんに向けたSagemathの使い方みたいな記事にまとめようかな

 

終わり

数学本格的に飽きてきたかもしれない

就活完全にやめてたけど、学校推薦の求人?みたいなやつが発表?されたからまた気分が辛くなった

博士いっても数学やる気続くか自信ないし、研究者には絶対なりたくないし、わりと働く気はあるし自立したいしで今すごく就職したい

ただ就活がほんとに嫌だ

推薦なら相当楽に決まるんだろうけど、内定率はそこまで変わらないとも書いてあるし、面接や履歴書のために心にもないことをひねり出す必要があるのには何も変わりないから辛い

これたぶん学歴の利点だと思うんだけど、そう考えるとたまに見かける「学歴社会反対!」ってやってる東大とか京大の人ほんと偉いと思うわ

俺なんか学歴社会大いに賛成だからな、楽だから

将来成功したら既得権益固執する醜い悪役老人になりそう

 

 

あと、4月から研究室の同期がゼミを対面にするらしいから俺もどうするかかなり迷ってる

最初の数回実家から新幹線で通ってみて、院生室の状況とか色々みて引っ越すか決めることにした

実は家賃、初期費、食費考えると週1までなら通いの方がやすいし、引っ越しとか自炊の手間とか友達がほぼ0になること考えると往復の時間もそこまで大きなデメリットではないという罠ね

大阪だと下手したら家出てから1時間程度でいけるし、名古屋ってマジで交通の便いいね

んでそのおかげで大好きなピノちゃんの水族館コラボいけることになったうれちい

 

 

あと思い返すとMazurの論文はやっぱめちゃくちゃいい論文だった気がしてきた

やってる最中マジで辛かったし数学のやる気完全にそがれつくしたけど、考えると16,17節以外はやってることもわかるし、難しいにしても重要な一般論たくさん使っててすごく勉強にもなったし、単純に証明も面白かった

ただその16,17が一番重要なんだよねこれ

そこ以外は前からわかってたみたいなことかいてあるし

 

んでtorstion points theoremの証明はMazruのもう一個の論文の方が一般化もできるしわかりやすいし短いんだよな

まあそっちもこの論文の2章の結果たくさん使ってるからどちらにせよこれは必要なんだけど

 

 

あと先生に学振かけって言われた

まだ研究入れてないし、今やってるuniversal boundって本筋はもう終わってるし、体の次数固定してもっと詳しく調べるやつも、Kenku, MomoseとかParentの論文見る通り死ぬほど長い(最終解決の論文も20ページくらいはあるし、その中に自分たちのほかの論文を何本も引用してる)しあまりやる気になれないんだよね

ってことで何をかけばいいのかさっぱりわからないし、そもそも研究入れてないんだから受かんないだろって感じもする

先生も数論幾何はそういう点で学振には不利って言われた

 

 

Oggのやつ -3/2

前回ブログ書いた時点でもうできるところ終わってたはずなのになぜかまだ数日もやってた

モチベひっくくて2時間くらいずつしかやってないけど

ほぼなにもやってないに等しいけど、ノートみるとなんかKamienny, Najmanのことやってたりcuspのmoduli解釈を自分でがんばってみたりしてるっぽい

ってか知らんかったけどこの論文が有理数体上の楕円曲線のorsion points theoremをきちんと提示した最初の論文っぽいね

1920年代からuniversal boundとかもfolkloreとして言われてたっぽいけど

OggとかBirchとかSwinnerton-Dyerって一つの定理でしか名前見たことなかったから学部生のころは大したことない人なのかと勝手に思ってたけど保形形式の話に死ぬほどでてくるから相当偉大な人っぽいな

 

Freyの曲線の対象積の有理点の有限性のやつ 3/5

こっからMerel読み始めた

有名な S(d) \lt \infty \iff \Phi(d) \lt \inftyの元論文あげてくれてたからそれ読んで、それが引用してたこれ読んだ

3時間くらい

 

Kamienny, Mazur 3/6

30分くらいって記録してある

上にかいた結果だけ読んだ

他のところはMerelがもっと一般的に解決してるしいいでしょってことで

 

Edixhoven 3/7,10,11

同じくMerelのために

Kamiennyの二次体のtorsionの有限性の一般化もかいてあったから前もちらっと読んだんだけど、全く気付かなかった大きな間違い発見したから時間かけて埋めてた

この論文(新しい結果がないからsurvey?)まじで素晴らしい

 

Merel, Bornes pour la torsion des courbes elliptiques sur les corps de nombres 3/8-

今のところはなにも難しくない

フランス語なのは相変わらずいらつくけど

あとwinding quotientのMordel-Weil群の有限性に解決されてるrank 0のBSD使ってておもろい

これも気になるし論文読んでみたいけど、クッソ長いし何本も引用してるし知らない理論たくさんあるし死ぬほどむずいしで、自分の研究対象にするべきではないレベルのものだからあんまり役に立たないかと思ってる

まあただやっぱBSDは単純に面白いし気になるね

 

あと、この論文の主結果をほんのちょっといじってもっと精密にしたこの人の師匠、ABC予想の人らしいな

abc予想を提示したのとこの精密化でしか名前聞いたことないですけど

 

 

終わり

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なんか来年も大学始まらないみたい

マジでこれとんでもない機会損失だろ

小中学校は対面でやらないとだと思うけど、さすがに高校よりは大学院の方が対面でやる必要あるだろ(就活的な面も結構重要だし、何より研究ね)

確かに高校生より色々な地域から多くの人が集まって感染リスクがどうこうってのもわかるけどね

それならそれでなんらかの補填をだな…

新しい環境で友達新しく作るのかなり好きだから正直ここまでくると本気で気が滅入るわ

んでこうなるとほんとに博士行って就活も研究も3年間延長するってのマジで最適解なんじゃないのこれ

 

 

Mazur3章は重要なEisenstein quotientのrational pointsの有限性とかをやらずにtorsion points theoremを示した

(意外と難しくてめんどくさくなってやめてしまった。あと1節の4もわからんかった

まあ細かいところだしいずれ埋める)

 

そんで色々torsion pointsに関する論文読んでる

今後は今までと違って短期間で論文何本か読んでいくから記録のしかた少し変える

論文名とかかくから検索にひっかからないようにしてみた

なんかできてない気がするんだけどできてんのかなこれ

 

Kamienny, S, Torsion points on elliptic curves and q-coefficients of modular forms 2/1-9

とりあえず二次体のtorsionの基礎だと思って読んだ

一般の次数d代数体に関しても、Hecke algebra  \mathbb{T}のEisenstein quotientの中でHecke operator  T_1, \dots, T_dが線形独立ならば、という条件のもとで全く同じ定理が成り立つってことも自分でやってみた

(ただ多分これが実質的な壁だからほぼ d=2以外の場合はこの方法では何もわからないと思う)

あとこの論文hyperellipticでない場合に限ってるけどこの仮定いらないねこれ

 

Sarma, N, Saikia, A, Torsion points of elliptic curves over imaginary quadratic fields of class number 1 2/10-12

Kenku, Momoseは自分たちの論文大量に引用しててくっそめんどくて読む気なかったから固定した二次体上のtorsionに関する論文読んだ

Kamienny, Najmanの \mathbb{Q}(\sqrt{-1}), \mathbb{Q}(\sqrt{-3})上のやつよりもうちょい一般に調べてたからこっち読めば十分かと思ってこれにした

でも正直この論文マジで”アレ”

下の論文がもう示したことをなぜか全く同じ手法でやってる

なんで?

ってことで、この手法明らかにもっと一般化できるだろと思って下の論文の存在を知らないまま数日自分でMAGMA使って計算してしまってた

その期間は下の論文の勉強期間ってことにしとこ

 

Kamienny, S, Najman, F, Torsion groups of elliptic curves over quadratic fields 2/13-16

modular curveのexplicitな式使ってMAGMAでrankとか計算してる

手法はめっちゃ簡単だけど結構色んなことがわかって楽しい

 

Menezes, et al., hyperellipticのやつ 2/17-19

genus 2の場合になんかdivisorのMumford representaionとかいうの出てきたから読んだ

でもこれいらんわ

あとついでにこの本schemeも使ってないし、なぜかsingularなmodelをそのまま使っててよくわからない

 

Laska, M, Lorenz, M, exponent 2の拡大のやつ 2/20-22

abelian varietyのtwistとrankの計算だけやった

やる気なくて時間かかっちゃった

でもなかなか強くて好き

その後の主結果も普通に面白そうだからいつかやるかも

 

Ogg, A. P., rational points on certain elliptic modular curves 2/23-

13, 16, 18 torsionの計算のために読んでる

実質読み終わったけど、cuspのOgg's notationとそのmoduli的な解釈の間の対応がわかんなくなってそこ保留中

(そのせいで16と18が計算できなくて困ってる

ただ手法はわかったから大きな問題ではない)

moduliの解析的解釈と代数的解釈ってこれほとんどの人が結構雑にやってるよね、これ

基本的なupper half planeのやつもmath overflowで質問して結構的外れな答え帰ってきてばっかだったし

まあ使えれば問題ないしね、俺もここで示したら多分数年後には忘れてそう

 

 

以上

 

次はKamienny, Najmanのgenus 2のとき示す

 

その後はMerelでuniformly boundやるとか?

これMazur2章ばりばり使っててムズそうだしフランス語なのほんとうざいからちょっとやる気ない

SutherlandのTorsion subgroups of elliptic curves over number fieldsって論文(?)読んで2以上の次数の場合色々調べていくとか?

あとは、今は研究に手つけるのが優先だろうからやらないかもしれないけど、

reference request - Introductory text on Galois representations - MathOverflow

のbest answerにある通りにGalois representationやってみるとかね

Galois representationなんて数論全部に必須だろうし、フェルマーの最終定理やりたいんだったら特に一番重要だし

書くこと特にないけど月一くらいでブログ更新したいから書く

 

就活は嫌すぎてやめた

大学の合同説明会みたいなやつに一応出席だけして就活したくないなーって考え続けて結局何もせず博士行くことにした

でも研究者は絶対なりたくないから博士で今度こそちゃんと就活する

30とかでフリーターと同レベルの非正規とかマジで絶対いやだからね

運よくすぐに助教とか就けても普通の企業の半分とかしか給料もらえないしマジで絶対になりたくない

昔から漠然と世間体のいいエリートサラリーマンになって金持ちになって大きい家を買いたいという夢がある

マジで社会の歯車になることになんの不満もないんで就活なしでリスクほぼ0の大企業に入りたい

わりとどんな仕事でもそれなりにやりがいもってできる気がする

 

 

数学は最近ほんとやる気ない

Mazurは一応2章全部終わったけどまだモチベ戻らない

ってかどんだけ時間かかってんだよこれ

正直2章こんなに苦労して読んでなんか身になったのかもわからない

 

今後は3章読みながらもしくは読み終わったらこれに関連した最近の論文色々読んでく

2次体上の楕円曲線のtorsion pointとかに関するのでまあまあ興味ありそうなのも見つかったし

 

ほんとはもっとフェルマーの最終定理に向かって色々勉強したいことあるけど、修士って研究する期間だしまずはそうやって新しい論文読んで研究しないといけない

昔先輩から聞いた「院生になると好きな勉強する時間は減る」ってこういうことだったんだな

 

 

 

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ipad買ったけど便利すぎる

もう1か月くらい紙で勉強してない

でもアップルペンシルこんな程度で1万5000円ってのは高すぎると思う

よくて3000円くらいだろこれ

ipad air7万弱なのは結構安いと思うけど

 

あとワイヤレスイヤホンも便利すぎる

3000円の(まともそうなやつのなかで)一番安いの買ったけど十分すぎる

動画見ると普通に気付くレベルで遅延があるのと、充電が2時間くらいで切れるから俺みたいに常にPCの前に座って聞いてるような人にはめっちゃ不便

片耳づつ使ってなんとかなってるけど2つ目も買う

2つ目は遅延なさそうなもうちょい高いの買う

 

俺はこういう新しい技術って「なくてもいい」って言って避けがちなんだけど、やっぱ一回使うともう戻れなくなるな(スマホもそうだった)

(こういう考えって真面目に老害の始まりだと思う

ツイッターで”下”の世界眺めてると若年性老害みたいな連中大量にいるし気を付けたい)

自分で稼ぐようになったら、ワイヤレスイヤホン程度の値段のものならとりあえずで挑戦してみるのを心がけよう

 

 

数学は何も進んでない

やる気ももうない

Mazur進まな過ぎる

今14節(ゼミが休みだったりってのもあって今月マジで全く進んでない)

知らん理論使い過ぎでモチベゴリゴリ削られる

(主にRaynaudとかSGAあたりの群論のやつ。generic fibreで同型なら云々とかinertiaがunipotentに作用どうこうとか)

次のゼミで別のやつやりたいって言うかも

ガロア表現とかなら楽しくできるかもしれん

それか群論