数学

研究の記録と日記

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月一だとかくこと忘れちゃうからツイッターに中間記録みたいな感じつけてたらブログかくのさらにめんどくさくなってきた

あと学部がもうあと1年で終わるところまで来たけど、卒業はまず確実そうで安心

まだあと授業2つ分足りてないって言うと結構馬鹿にされるけど、一年から通して4年前期までずっとほぼ同じ授業数でやってきたから、これが一番賢い単位の取り方なのは群の準同型定理よりも明らか

 

あと院試勉強が逃れられない時期になってしまった

シロちゃんの番組が見られないのむかつくから研究室とか関係なく東京の院に行くと決めてる

つまり東大か東工大

(来年度までブーム続くか知らんけど、とりあえず一人暮らしすれば仕送りをお小遣いに充てられるから県外に行くのはまず決めてる つまりこの二つに加えて京大もあり

この3つは数論幾何の人めちゃくちゃいるし先生で選んだとしても最良の3つっぽい)

東大の院試見たらめちゃくそ簡単だったから、これは舐めてかからない限りまあ受かると思った

 

あと卒研も結構うっといかもしれない

今年度の卒研の担当に数論幾何の先生が一人もいないとかいうごみカス采配

死ねや

ってことで一番やりたいことに近い代数幾何のところにした

Beauvilleのcomplex algebraic surfaceを読むことになったと思う

Hartshorneの5章がかなり楽しかったからこれも多分楽しくできるんだろうけど、今はとにかく数論の論文をたくさん読みたいから、ある程度障壁にはなりそう

ただ先生がなんかよくわからんけど国からめちゃくちゃ金もらってるみたいだから、研究集会みたいなやつにはたくさん連れて行ってもらえそうでうれしい

1年のころからずっと行ってみたかった

 

久しぶりに勉強内容以外の日記っぽいこと書いた

これもあとから見返すと結構楽しいから今後努めてかくようにしたい

 

 

Milneのエタコホの本の2章全部、3章1,2節、あと5章1節を読んだ

そんでDeligneも読み終わった

とりあえず2節まで全部自分で示したりMilneの該当定理の番号かいたりしてきちんとできた

行間も埋め切れたし、あとMilneにもかいてなくてDeligneにもちゃんとはかいてないGalois actionもきちんといくつか自分で補題つけて定義できた

3節ははじめめちゃくちゃ難しかったけど、Milneのネットにあるpdf見ながらやったら結構理解できた

Lie群の知識必要になったっぽいけどそこはひとまず飛ばして3節も全部追い切れた

 zeta関数の収束半径とかいう完全に解析の道具を使って、Frobeniusのエタコホへの作用の固有値を上下から抑える証明がすごかった

4,5節のLefschetz pencilは意味わからなかったから完全にとばした

そんでそれを使う6節も認めた

あとは7節をちゃんとやってWeil予想証明終了

Lefschetz pencilはほんと意味わからんけど、エタコホは基本定理認めたのに、全部追った理論かのように自分の道具として使えるほど慣れ親しめた気がする

んでそのLefschetzも、意味わからんながら、エタコホの話をblowing upしたものに帰着できて、んでそれをpencil( \mathbb{P}^1と同値)のエタコホに帰着できるのはなんとなく雰囲気感じ取れたしほんと強いって思った

多分今後数学を勉強していく上で一番大事なのってこの「なんとなく自分の道具と思えるようになった」みたいな感覚をつけることなんだよな

 

そんでDeligne, MumfordのThe irreducibility of the space of curves of given genusを読み始めた

まずはmoduliについて少しは知らなければとMumfordのGeometric invariant theoryの5章を読んだ

命題5.2のstable curveバージョンがDe, Muにもあるわけだけど、この二つの言ってることの同値性が全然わからなかったからこれを示すために大分使った

locally free sheafが定めるprojective bundleについての性質(Picard群とかいつ二つのprojective bundleが同じになるかとか)を示して、ようやく同値性が示せた

そんでmoduli functorがcanonically enmeded curve"のmoduli"をPGLでわったやつのsheafificationだってのも簡単に示せてよかった

これにてcanonically embeded curveのschemePGLによるgeometric quotientがmoduliになることがわかったわけだけど、このquotientが存在することは余裕で認めた

というか、この本はこういうquotientがいつ存在するかって理論の本で、moduliはあくまでひとつの応用なんだろうな

次に6章のabelian schemeもやろうとしたけど難しすぎて断念した

 

んで次はlocally complete intersectionをLiuの本でやってDe, Muに入った

1節の初めにあるdualizing sheafに関するもろもろを参考文献つけようとネットの海を漂って、結果全然見つからなくてむかついて、でもよく考えたら俺が参考にしてるコメントは多分こういうのを黙って認めろって言ってるんだよなって気づいて、結局黙って認めて先進んだ

今は定理1.2を苦戦しながらもようやくほぼ倒したところ

今後、deformationとかいうのが意味不明だから、普通にsmooth curveのdeformationをなんか別の本でやってからにするか、ここは完全に認めるかする

まあ完全放置じゃ先読めなさそうな雰囲気あるからやるような気がしてる

一応stackをこの論文読む目標にしてるけど、どうなることか全くわからん

 

まだ全然知らんけど、MumfordのPicard groups of moduli problemをさらっと眺めた感じ、stackは、ある種の幾何的対象全体のなす圏の終対象がmoduliなことを利用して、終対象がない圏にも形式的に終対象を付け加えて、そいつがschemeとcompatibleになるように幾何的な構造を定義したものに見える

というか、いい感じの幾何的対象が成す圏が満たすべき性質を満たす圏をstackと呼んで、そいつの終対象をそのstackのmoduliと呼んでるのかも